Identifique e esboce a curva dada por:
\gamma(t)=\left(t, t^{3}\right);

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\gamma(t)=\left(t, t^{3}\right)
e pede duas coisas:
  • Identificar a curva (ou seja, dizer que figura geométrica ela representa).
  • Esboçar a curva (mostrar como desenhar/representá-la e quais características importantes anotar).
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização é \gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) com x(t)=t e y(t)=t^{3}.
  • Não foi especificado o domínio de t: por padrão assumimos t\in\mathbb{R} (todo o eixo real).
  • A curva está no plano (x,y).

Passo 2

Mostrar que a curva é o gráfico de uma função y=f(x).
Porque x(t)=t é invertível (para cada t há um x igual a t), podemos eliminar o parâmetro t substituindo t=x em y(t). Assim obtemos a relação
y = x^{3}.
Portanto a curva é exatamente o gráfico da função f(x)=x^{3} para x\in\mathbb{R}.
Explicação didática curta: quando a componente x(t) é simplesmente t, o parâmetro é igual à coordenada x, então a componente y vista como função de x é apenas y=x^{3}.

Passo 3

Calcular o vetor tangente \gamma'(t) e interpretar sua geometria.
Derivando componente a componente:
\gamma'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr)=(1,3t^{2}).
Isto significa que em cada ponto \gamma(t) a direção instantânea da curva é dada pelo vetor (1,3t^{2}).
Interpretação prática:
  • A inclinação da tangente no ponto correspondente é
\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{3t^{2}}{1}=3t^{2}.
  • Como 3t^{2}\ge 0 para todo t, a curva é não decrescente no sentido x: conforme t aumenta, x aumenta e y não diminui.
  • Em t=0 a inclinação é 0, logo há uma tangente horizontal no ponto (0,0).

Passo 4

Analisar monotonicidade e tangentes de forma que se possa usar na prova.
Usando \dfrac{dy}{dx}=3t^{2}:
  • Para t\neq 0 temos \dfrac{dy}{dx}>0: a curva sobe (no sentido de x) à esquerda e à direita do origin, não há reversão.
  • Em t=0: \dfrac{dy}{dx}=0, tangente horizontal em (0,0). Isso é visível no gráfico de y=x^{3}: o gráfico “flatten” (achatamento) no centro.
Dica prática para a prova: ao ver uma parametrização (t,t^{3}) já pense em substituir t=x e usar derivados como acima para localizar tangentes e comportamento local.

Passo 5

Analisar concavidade e ponto de inflexão.
Cálculo da segunda derivada da função y(x)=x^{3}:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=6x.
Interpretações:
  • Se x<0 então y''(x)<0: curva côncava para baixo.
  • Se x>0 então y''(x)>0: curva côncava para cima.
  • Em x=0 (que corresponde a t=0) temos y''(0)=0 e a concavidade muda de sinal: (0,0) é um ponto de inflexão.
Na prática: o gráfico de y=x^{3} passa de curvar para baixo (à esquerda) para curvar para cima (à direita), com inflexão no origem.

Passo 6

Simetrias e propriedades especiais.
Verificamos simetria ímpar:
\gamma(-t)=(-t,(-t)^{3})=(-t,-t^{3})=-\gamma(t).
Isto significa que a curva é simétrica em relação à origem (simetria ímpar): se (x,y) está na curva então (-x,-y) também está. Em termos da função: f(-x)=-f(x).

Passo 7

Comportamento para t\to\pm\infty e existência de assíntotas.
Como y=x^{3}, para |x|\to\infty temos |y|\to\infty mais rápido (crescimento cúbico). Não existem assíntotas horizontais ou verticais finitas; nem assíntotas oblíquas lineares porque a razão y/x tende a \pm\infty (cresce sem limite). Em resumo: a curva vai para infinito nos ramos x\to\pm\infty.

Passo 8

Velocidade de varredura e orientação da parametrização (útil para o esboço com setas).
A velocidade (módulo do vetor tangente) é
\|\gamma'(t)\|=\sqrt{1+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{1+9t^{4}}.
Isto mostra que conforme |t| cresce, a velocidade aumenta (a curva é percorrida mais rapidamente para valores grandes de |t|). A orientação: como x'(t)=1>0 sempre, o parâmetro t aumenta movendo-se da esquerda para a direita no plano (da parte negativa para a positiva).

Passo 9

Pontos-chave para marcar e como esboçar passo a passo (receita prática para a prova):
  1. Marque os pontos fáceis: (-2,-8),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,8). Esses foram obtidos substituindo t=-2,-1,0,1,2 em \gamma(t).
  2. Desenhe uma curva que passe por esses pontos, lembrando:
    • Simetria ímpar em relação à origem.
    • Tangente horizontal em (0,0).
    • Para x<0: concavidade para baixo; para x>0: concavidade para cima.
    • Não tente fazer retas como assíntotas — os ramos sobem rapidamente.
  3. Acrescente setas indicando a orientação: a seta deve apontar para a direita conforme t cresce.
  4. Se quiser anotar derivadas: perto de (0,0) a inclinação é 0; em x=1 a inclinação é 3, em x=-1 também 3 (positiva), etc.
Dica prática: no papel, trace primeiro o eixo cartesiano, marque os pontos listados, esboce a curva suave passando por eles e ajuste a concavidade à esquerda e à direita do origem.

Passo 10

Resumo didático rápido para decorar e usar na prova
  • Identificar: sempre que a parametrização tem x(t)=t substitua t=x para encontrar y como função de x.
  • Tangente: calcule \gamma'(t) para obter a inclinação \dfrac{dy}{dx}.
  • Concavidade e inflexão: use y''(x).
  • Simetria: verifique \gamma(-t) para ver se é \pm\gamma(t).
  • Esboço: marque pontos simples, determine tangentes e concavidade, desenhe e coloque setas.
Força aí — você consegue esboçar o y=x^{3} com esses passos mesmo sem calculadora!

Resposta

A curva é o gráfico da função y=x^{3} para x\in\mathbb{R}.\nEsboço: curva cúbica ímpar passando por (-2,-8),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,8), com tangente horizontal e ponto de inflexão em (0,0), concavidade para baixo em x<0 e para cima em x>0; orientação da esquerda para a direita conforme t aumenta.

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