Identifique e esboce a curva dada por:
;
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede duas coisas:
e pede duas coisas:
- Identificar a curva (ou seja, dizer que figura geométrica ela representa).
- Esboçar a curva (mostrar como desenhar/representá-la e quais características importantes anotar).
Informações relevantes fornecidas:
- A parametrização é
com e . - Não foi especificado o domínio de
: por padrão assumimos (todo o eixo real). - A curva está no plano
.
Passo 2
Mostrar que a curva é o gráfico de uma função
.
Porque
é invertível (para cada
há um
igual a
), podemos eliminar o parâmetro
substituindo
em
. Assim obtemos a relação
Portanto a curva é exatamente o gráfico da função
para
.
Explicação didática curta: quando a componente
é simplesmente
, o parâmetro é igual à coordenada
, então a componente
vista como função de
é apenas
.
Passo 3
Calcular o vetor tangente
e interpretar sua geometria.
Derivando componente a componente:
Isto significa que em cada ponto
a direção instantânea da curva é dada pelo vetor
.
Interpretação prática:
- A inclinação da tangente no ponto correspondente é
- Como
para todo , a curva é não decrescente no sentido : conforme aumenta, aumenta e não diminui. - Em
a inclinação é , logo há uma tangente horizontal no ponto .
Passo 4
Analisar monotonicidade e tangentes de forma que se possa usar na prova.
Usando
:
- Para
temos : a curva sobe (no sentido de ) à esquerda e à direita do origin, não há reversão. - Em
: , tangente horizontal em . Isso é visível no gráfico de : o gráfico “flatten” (achatamento) no centro.
Dica prática para a prova: ao ver uma parametrização
já pense em substituir
e usar derivados como acima para localizar tangentes e comportamento local.
Passo 5
Analisar concavidade e ponto de inflexão.
Cálculo da segunda derivada da função
:
Interpretações:
- Se
então : curva côncava para baixo. - Se
então : curva côncava para cima. - Em
(que corresponde a ) temos e a concavidade muda de sinal: é um ponto de inflexão.
Na prática: o gráfico de
passa de curvar para baixo (à esquerda) para curvar para cima (à direita), com inflexão no origem.
Passo 6
Simetrias e propriedades especiais.
Verificamos simetria ímpar:
Isto significa que a curva é simétrica em relação à origem (simetria ímpar): se
está na curva então
também está. Em termos da função:
.
Passo 7
Comportamento para
e existência de assíntotas.
Como
, para
temos
mais rápido (crescimento cúbico). Não existem assíntotas horizontais ou verticais finitas; nem assíntotas oblíquas lineares porque a razão
tende a
(cresce sem limite). Em resumo: a curva vai para infinito nos ramos
.
Passo 8
Velocidade de varredura e orientação da parametrização (útil para o esboço com setas).
A velocidade (módulo do vetor tangente) é
Isto mostra que conforme
cresce, a velocidade aumenta (a curva é percorrida mais rapidamente para valores grandes de
). A orientação: como
sempre, o parâmetro
aumenta movendo-se da esquerda para a direita no plano (da parte negativa para a positiva).
Passo 9
Pontos-chave para marcar e como esboçar passo a passo (receita prática para a prova):
- Marque os pontos fáceis:
. Esses foram obtidos substituindo em . - Desenhe uma curva que passe por esses pontos, lembrando:
- Simetria ímpar em relação à origem.
- Tangente horizontal em
. - Para
: concavidade para baixo; para : concavidade para cima. - Não tente fazer retas como assíntotas — os ramos sobem rapidamente.
- Acrescente setas indicando a orientação: a seta deve apontar para a direita conforme
cresce. - Se quiser anotar derivadas: perto de
a inclinação é ; em a inclinação é , em também (positiva), etc.
Dica prática: no papel, trace primeiro o eixo cartesiano, marque os pontos listados, esboce a curva suave passando por eles e ajuste a concavidade à esquerda e à direita do origem.
Passo 10
Resumo didático rápido para decorar e usar na prova
- Identificar: sempre que a parametrização tem
substitua para encontrar como função de . - Tangente: calcule
para obter a inclinação . - Concavidade e inflexão: use
. - Simetria: verifique
para ver se é . - Esboço: marque pontos simples, determine tangentes e concavidade, desenhe e coloque setas.
Força aí — você consegue esboçar o
com esses passos mesmo sem calculadora!
Resposta
A curva é o gráfico da função
para
.\nEsboço: curva cúbica ímpar passando por
, com tangente horizontal e ponto de inflexão em
, concavidade para baixo em
e para cima em
; orientação da esquerda para a direita conforme
aumenta.