Identifique e esboce a curva dada por:
\gamma(t)=(\sin t, t, \cos t);

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \gamma(t)=(\sin t,\;t,\;\cos t) e pede que identifiquemos que tipo de curva é e que a esbocemos.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A componente x é x(t)=\sin t.
  • A componente y é y(t)=t.
  • A componente z é z(t)=\cos t.
    O que será pedido na prática: reconhecer a forma geométrica (qual superfície ou figura ela acompanha) e dizer como desenhá‑la (orientação, pontos marcantes, passo/periodicidade).

Passo 2

Mostrar a projeção sobre o plano xz (isto ajuda a entender a forma lateral). Calcule:
x(t)^2+z(t)^2=\sin^2 t+\cos^2 t=1.
Portanto, a projeção de \gamma no plano xz é o círculo de raio 1 centrado na origem: \{(x,z)\mid x^2+z^2=1\}.

Passo 3

Usar a coordenada y para ver o comportamento em altura. Como y(t)=t, quando t aumenta o ponto sobe monotonamente ao longo do eixo y. Juntando com o passo anterior: o ponto percorre um círculo de raio 1 na direção xz enquanto sobe ao longo do eixo y. Isso é a definição geométrica de uma hélice sobre o cilindro de raio 1 em torno do eixo y.

Passo 4

Determinar a orientação (sentido de percorre­mento) e a velocidade para ajudar no esboço. Calcule a derivada:
\gamma'(t)=(\cos t,\;1,\;-\sin t).
Como \gamma'(t)_y=1>0 para todo t, a curva sobe sempre quando t aumenta. A norma da velocidade é
\|\gamma'(t)\|=\sqrt{\cos^2 t+1+\sin^2 t}=\sqrt{2},
ou seja, a hélice é percorrida com velocidade constante \sqrt{2}.

Passo 5

Determinar o passo (passo = deslocamento em y por volta completa). Uma volta completa na projeção do círculo corresponde a t\mapsto t+2\pi. Então, ao aumentar t em 2\pi tem‑se
\Delta y = y(t+2\pi)-y(t)=2\pi.
Logo, o passo vertical por volta é 2\pi.

Passo 6

Verificação mais fina: a curva está sobre o cilindro \{(x,y,z)\mid x^2+z^2=1\} e tem curvatura e torção constantes, típica da hélice circular. Calcule as derivadas necessárias:
\gamma''(t)=(-\sin t,\;0,\;-\cos t),\qquad \gamma'''(t)=(-\cos t,\;0,\;\sin t).
O produto vetorial é
\gamma'(t)\times\gamma''(t)=(-\cos t,\;1,\;\sin t),
de modo que
\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|=\sqrt{\cos^2 t+1+\sin^2 t}=\sqrt{2}.
Usando a fórmula da curvatura \kappa=\dfrac{\|\gamma'\times\gamma''\|}{\|\gamma'\|^3} e a fórmula da torção \tau=\dfrac{(\gamma'\times\gamma'')\cdot\gamma'''}{\|\gamma'\times\gamma''\|^2}, obtemos
\kappa=\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^3}=\frac{1}{2},\qquad \tau=\frac{1}{2}.
Curvatura e torção constantes e iguais são característicos de uma hélice circular regular.

Passo 7

Pontos marcantes para esboçar (bons marcos no rascunho):
\begin{aligned} t=0&:\\ \gamma(0)=(0,\;0,\;1),\\\ t=\tfrac{\pi}{2}&:\\ \gamma\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(1,\;\tfrac{\pi}{2},\;0),\\\ t=\pi&:\\ \gamma(\pi)=(0,\;\pi,\;-1),\\\ t=\tfrac{3\pi}{2}&:\\ \gamma\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=(-1,\;\tfrac{3\pi}{2},\;0),\\\ t=2\pi&:\\ \gamma(2\pi)=(0,\;2\pi,\;1). \end{aligned}
Como desenhar no papel: desenhar primeiro o eixo y vertical, traçar um cilindro de raio 1 em torno do eixo y (ou apenas marcar o círculo de base), marcar os pontos acima e ligar por uma curva espiral que sobe, passando por esses pontos na ordem de t crescente. Indicar a seta no sentido de crescimento de t (para cima).

Resposta

É uma hélice circular de raio 1 ao redor do eixo y (está sobre o cilindro x^2+z^2=1), percorrida para cima quando t cresce; passo vertical por volta 2\pi; velocidade constante \sqrt{2}; curvatura e torção iguais a \tfrac{1}{2}.

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