Identifique e esboce a curva dada por:
;
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede que identifiquemos que tipo de curva é e que a esbocemos.
Informações úteis extraídas do enunciado:
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A componente
é . - A componente
é . - A componente
é .
O que será pedido na prática: reconhecer a forma geométrica (qual superfície ou figura ela acompanha) e dizer como desenhá‑la (orientação, pontos marcantes, passo/periodicidade).
Passo 2
Mostrar a projeção sobre o plano
(isto ajuda a entender a forma lateral). Calcule:
Portanto, a projeção de
no plano
é o círculo de raio
centrado na origem:
.
Passo 3
Usar a coordenada
para ver o comportamento em altura. Como
, quando
aumenta o ponto sobe monotonamente ao longo do eixo
. Juntando com o passo anterior: o ponto percorre um círculo de raio
na direção
enquanto sobe ao longo do eixo
. Isso é a definição geométrica de uma hélice sobre o cilindro de raio
em torno do eixo
.
Passo 4
Determinar a orientação (sentido de percorremento) e a velocidade para ajudar no esboço. Calcule a derivada:
Como
para todo
, a curva sobe sempre quando
aumenta. A norma da velocidade é
ou seja, a hélice é percorrida com velocidade constante
.
Passo 5
Determinar o passo (passo = deslocamento em
por volta completa). Uma volta completa na projeção do círculo corresponde a
. Então, ao aumentar
em
tem‑se
Logo, o passo vertical por volta é
.
Passo 6
Verificação mais fina: a curva está sobre o cilindro
e tem curvatura e torção constantes, típica da hélice circular. Calcule as derivadas necessárias:
O produto vetorial é
de modo que
Usando a fórmula da curvatura
e a fórmula da torção
, obtemos
Curvatura e torção constantes e iguais são característicos de uma hélice circular regular.
Passo 7
Pontos marcantes para esboçar (bons marcos no rascunho):
Como desenhar no papel: desenhar primeiro o eixo
vertical, traçar um cilindro de raio
em torno do eixo
(ou apenas marcar o círculo de base), marcar os pontos acima e ligar por uma curva espiral que sobe, passando por esses pontos na ordem de
crescente. Indicar a seta no sentido de crescimento de
(para cima).
Resposta
É uma hélice circular de raio
ao redor do eixo
(está sobre o cilindro
), percorrida para cima quando
cresce; passo vertical por volta
; velocidade constante
; curvatura e torção iguais a
.