Encontre a equação do plano nas seguintes situações:
Plano que contem as retas x=3+2 t, y=t, z=8-t, t \in \mathbb{R} e x=3 s, y= 1+s, z=7-s, s \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede a equação do plano que as contém. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
  • Primeira reta (parametrizada por t):
x=3+2t,\qquad y=t,\qquad z=8-t,\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Segunda reta (parametrizada por s):
x=3s,\qquad y=1+s,\qquad z=7-s,\qquad s\in\mathbb{R}.
O que pedir: encontrar a equação do plano que contém essas duas retas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As retas são dadas em forma paramétrica, então cada uma tem um ponto e um vetor diretor que podemos extrair.
  • Para definir um plano basta um ponto do plano e um vetor normal ao plano; uma forma prática de obter o vetor normal é calcular o produto vetorial (cross product) de dois vetores diretores distintos do plano.
  • Como as duas retas supostamente estão contidas no mesmo plano, elas ou se intersectam ou são paralelas (se paralelas e distintas não definiriam um mesmo plano). Vou verificar isto e, em seguida, construir a equação do plano.

Passo 2

Extrair, para cada reta, um ponto que pertence à reta e o vetor diretor.
  • Para a primeira reta, quando t=0 temos o ponto
P_1=(x,y,z)=(3,0,8).
O vetor diretor da primeira reta é o coeficiente de t, ou seja
\mathbf{v}_1=(2,1,-1).
  • Para a segunda reta, quando s=0 temos o ponto
P_2=(x,y,z)=(0,1,7).
O vetor diretor da segunda reta é o coeficiente de s, ou seja
\mathbf{v}_2=(3,1,-1).
Esses pontos e vetores eu os peguei diretamente das parametrizações dadas no enunciado.

Passo 3

Verificar se as retas se intersectam (porque se intersectam podemos usar o ponto de interseção como ponto do plano). Para isso igualo as coordenadas das duas parametrizações buscando [t) e s que satisfaçam simultaneamente:
\begin{cases} 3+2t=3s,\\[4pt] t=1+s,\\[4pt] 8-t=7-s. \end{cases}
Vou resolver passo a passo:
  • Da segunda equação vem \,t=1+s\], então substituo \(s=t-1.
  • Substituindo na primeira equação:
3+2t=3s=3(t-1)=3t-3.
Isolando t:
3+2t=3t-3 \quad\Rightarrow\quad 3+2t-3t+3=0 \quad\Rightarrow\quad -t+6=0,
logo \,t=6.
  • Com \,t=6 obtemos s=t-1=5.
  • Verifico a terceira equação com esses valores:
8-t=8-6=2,\qquad 7-s=7-5=2,
são iguais, logo consistente.
Portanto as retas se intersectam no ponto obtido para t=6 (ou s=5). Calculo as coordenadas desse ponto:
P=(x,y,z)=(3+2\cdot6,\;6,\;8-6)=(15,6,2).]

Passo 4

Concluir sobre a configuração geométrica e escolher método. Como as retas se intersectam e seus vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 não são múltiplos um do outro (logo são linearmente independentes), elas determinam um único plano. Método escolhido: obter um vetor normal ao plano através do produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 e usar a forma ponto-normal do plano.
Explicação do porquê: se \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 estão no plano, qualquer vetor normal \mathbf{n} ao plano é ortogonal a ambos; o produto vetorial de dois vetores não-paralelos dá um vetor ortogonal a ambos.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2. Vou usar a expressão em determinante (forma padrão):
\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}.
Calculo coordenada a coordenada:
  • Componente i:
i:\; 1\cdot(-1)-(-1)\cdot1 = -1 -(-1)=0.
  • Componente j (lembrando o sinal menos ao calcular):
-j:\; 2\cdot(-1)-(-1)\cdot3 = -2 -(-3) = -2+3=1,
então a componente j vale -1 (porque tem o sinal negativo na fórmula do determinante): de fato obtemos -1.
  • Componente k:
k:\; 2\cdot1-1\cdot3 = 2-3 = -1.
Portanto
\mathbf{n}=(0,-1,-1).
Podemos multiplicar por -1 para simplificar o sinal e obter uma forma mais simpática do normal:
\mathbf{n}=(0,1,1).

Passo 6

Formar a equação do plano usando a forma ponto-normal. Se \mathbf{n}=(a,b,c) é normal e P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação do plano em coordenadas é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui temos \mathbf{n}=(0,1,1) e o ponto P=(15,6,2). Substituindo:
0\,(x-15)+1\,(y-6)+1\,(z-2)=0.
Simplificando:
y-6+z-2=0 \quad\Rightarrow\quad y+z-8=0.
Ou, escrevendo de forma usual,
y+z=8.

Passo 7

Verificar rapidamente que ambas as retas satisfazem a equação encontrada (verificação é bom para evitar erro de sinais):
  • Para a primeira reta, com y=t e z=8-t,
y+z=t+(8-t)=8.
  • Para a segunda reta, com y=1+s e z=7-s,
y+z=(1+s)+(7-s)=8.
Ambas as somas dão 8, então ambas as retas estão realmente contidas no plano y+z=8. Tudo coerente.

Resposta

y+z=8

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