Encontre a equação do plano nas seguintes situações:
Plano que contem as retas x=3+2 t, y=t, z=8-t, t \in \mathbb{R} e x=3 s, y= 1+s, z=7-s, s \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede a equação do plano que as contém. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
O que pedir: encontrar a equação do plano que contém essas duas retas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As retas são dadas em forma paramétrica, então cada uma tem um ponto e um vetor diretor que podemos extrair.
Para definir um plano basta um ponto do plano e um vetor normal ao plano; uma forma prática de obter o vetor normal é calcular o produto vetorial (cross product) de dois vetores diretores distintos do plano.
Como as duas retas supostamente estão contidas no mesmo plano, elas ou se intersectam ou são paralelas (se paralelas e distintas não definiriam um mesmo plano). Vou verificar isto e, em seguida, construir a equação do plano.
Passo 2
Extrair, para cada reta, um ponto que pertence à reta e o vetor diretor.
Para a primeira reta, quando t=0 temos o ponto
P_1=(x,y,z)=(3,0,8).
O vetor diretor da primeira reta é o coeficiente de t, ou seja
\mathbf{v}_1=(2,1,-1).
Para a segunda reta, quando s=0 temos o ponto
P_2=(x,y,z)=(0,1,7).
O vetor diretor da segunda reta é o coeficiente de s, ou seja
\mathbf{v}_2=(3,1,-1).
Esses pontos e vetores eu os peguei diretamente das parametrizações dadas no enunciado.
Passo 3
Verificar se as retas se intersectam (porque se intersectam podemos usar o ponto de interseção como ponto do plano). Para isso igualo as coordenadas das duas parametrizações buscando [t) e s que satisfaçam simultaneamente:
Portanto as retas se intersectam no ponto obtido para t=6 (ou s=5). Calculo as coordenadas desse ponto:
P=(x,y,z)=(3+2\cdot6,\;6,\;8-6)=(15,6,2).]
Passo 4
Concluir sobre a configuração geométrica e escolher método. Como as retas se intersectam e seus vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 não são múltiplos um do outro (logo são linearmente independentes), elas determinam um único plano. Método escolhido: obter um vetor normal ao plano através do produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 e usar a forma ponto-normal do plano.
Explicação do porquê: se \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 estão no plano, qualquer vetor normal \mathbf{n} ao plano é ortogonal a ambos; o produto vetorial de dois vetores não-paralelos dá um vetor ortogonal a ambos.
Passo 5
Calcular o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2. Vou usar a expressão em determinante (forma padrão):
Componente j (lembrando o sinal menos ao calcular):
-j:\; 2\cdot(-1)-(-1)\cdot3 = -2 -(-3) = -2+3=1,
então a componente j vale -1 (porque tem o sinal negativo na fórmula do determinante): de fato obtemos -1.
Componente k:
k:\; 2\cdot1-1\cdot3 = 2-3 = -1.
Portanto
\mathbf{n}=(0,-1,-1).
Podemos multiplicar por -1 para simplificar o sinal e obter uma forma mais simpática do normal:
\mathbf{n}=(0,1,1).
Passo 6
Formar a equação do plano usando a forma ponto-normal. Se \mathbf{n}=(a,b,c) é normal e P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação do plano em coordenadas é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui temos \mathbf{n}=(0,1,1) e o ponto P=(15,6,2). Substituindo:
0\,(x-15)+1\,(y-6)+1\,(z-2)=0.
Simplificando:
y-6+z-2=0 \quad\Rightarrow\quad y+z-8=0.
Ou, escrevendo de forma usual,
y+z=8.
Passo 7
Verificar rapidamente que ambas as retas satisfazem a equação encontrada (verificação é bom para evitar erro de sinais):
Para a primeira reta, com y=t e z=8-t,
y+z=t+(8-t)=8.
Para a segunda reta, com y=1+s e z=7-s,
y+z=(1+s)+(7-s)=8.
Ambas as somas dão 8, então ambas as retas estão realmente contidas no plano y+z=8. Tudo coerente.