Identifique e esboce as curvas dadas pelas equações:
y^22-x^24=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y^22-x^24=1
Isso é uma cônica; como aparece y^2 com sinal positivo e x^2 com sinal negativo, trata-se de uma hipérbole cujo eixo transverso é vertical. Vamos colocar na forma padrão, achar centro, vértices, assíntotas e, por fim, esboçar.

Passo 2

Para pôr em forma padrão basta reconhecer que
y^22-x^24=1
é equivalente a
y^2(raiz2)^2-x^2(2)^2=1
Logo identificamos
a^2=2, b^2=4,
com a=raiz2 e b=2.

Passo 3

O centro da hipérbole é (0,0). Como o termo positivo é o de y^2, o eixo transverso é vertical e os vértices ficam em
(0,pm a)=(0,pmraiz2)
Se quisermos os focos, usamos
c^2=a^2+b^2=2+4=6, c=raiz6,
de modo que os focos são (0,pmraiz6).

Passo 4

As assíntotas de uma hipérbole na forma
y^2a^2-x^2b^2=1
são dadas por
y=pmab,x
Aqui tfracab=tfracraiz22=tfrac1raiz2, então as assíntotas são
y=pmxraiz2

Passo 5

Para esboçar:
– Desenhe os eixos x e y.
– Trace as retas y=tfracxraiz2 e y=-tfracxraiz2.
– Marque os vértices em (0,raiz2) e (0,-raiz2).
– A partir desses vértices desenhe dois ramos simétricos que se abrem para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A curva é uma hipérbole de eixo transverso vertical, com centro em (0,0), vértices em l(0,pmraiz2r), focos em l(0,pmraiz6r) e assíntotas y=pm x/raiz2.

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