Identifique e esboce as curvas dadas pelas equações:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
Isso é uma cônica; como aparece
com sinal positivo e
com sinal negativo, trata-se de uma hipérbole cujo eixo transverso é vertical. Vamos colocar na forma padrão, achar centro, vértices, assíntotas e, por fim, esboçar.
Passo 2
Para pôr em forma padrão basta reconhecer que
é equivalente a
Logo identificamos
com
e
.
Passo 3
O centro da hipérbole é
. Como o termo positivo é o de
, o eixo transverso é vertical e os vértices ficam em
Se quisermos os focos, usamos
de modo que os focos são
.
Passo 4
As assíntotas de uma hipérbole na forma
são dadas por
Aqui
, então as assíntotas são
Passo 5
Para esboçar:
– Desenhe os eixos e
.
– Trace as retas e
.
– Marque os vértices em e
.
– A partir desses vértices desenhe dois ramos simétricos que se abrem para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.
– Desenhe os eixos
– Trace as retas
– Marque os vértices em
– A partir desses vértices desenhe dois ramos simétricos que se abrem para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
A curva é uma hipérbole de eixo transverso vertical, com centro em
, vértices em
, focos em
e assíntotas
.