Identifique e esboce as curvas dadas pelas equações:
(x-1)^29-(y-1)^24=1

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a curva dada por
(x-1)^29-(y-1)^24=1
Este é um exercício de seções cônicas: vamos mostrar que se trata de uma hipérbole na forma padrão e então extrair seus elementos principais para desenhá-la.

Passo 2

Reescrevemos a equação para lembrar a forma canônica da hipérbole horizontal:
(x-h)^2a^2 ;-;(y-k)^2b^2 =1
Comparando com
(x-1)^29-(y-1)^24=1,
vemos que
h=1, k=1, a^2=9, b^2=4

Passo 3

O centro da hipérbole é o ponto
(h,k)=(1,1)
Os semi-eixos são
a=3, b=2

Passo 4

Os vértices ficam a uma distância a do centro, ao longo do eixo transverso (horizontal). Assim, os vértices são
(1pm3,,1);Longrightarrow;(-2,1)e(4,1)

Passo 5

O parâmetro c para os focos vem de
c=raiza^2+b^2=raiz9+4=raiz13
Logo, os focos são
l(1pmraiz13,,1r)

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole horizontal na forma (x-1)^29-(y-1)^24=1 são dadas por
y-1=pmba(x-1) Longrightarrow y-1=pm23(x-1)

Passo 7

Para esboçar a curva, procedemos assim:
  1. Marque o centro (1,1).
  2. Desenhe os vértices (-2,1) e (4,1).
  3. Trace as retas-assíntotas y-1=pm23(x-1).
  4. Esboce duas curvas que passam pelos vértices e se aproximam das assíntotas quando |x|toinfty.

Resposta

A curva é uma hipérbole horizontal com:
– Centro em (1,1).
– Semi-eixos a=3 (horizontal) e b=2 (vertical).
– Vértices em (-2,1) e (4,1).
– Focos em l(1pmraiz13,,1r).
– Assíntotas dadas por
y-1=pm23(x-1)
O esboço consiste em duas ramificações abrindo para a direita e para a esquerda, centradas em (1,1), aproximando-se das assíntotas acima.

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