Identifique e esboce as curvas dadas pelas equações:
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a curva dada por
Este é um exercício de seções cônicas: vamos mostrar que se trata de uma hipérbole na forma padrão e então extrair seus elementos principais para desenhá-la.
Passo 2
Reescrevemos a equação para lembrar a forma canônica da hipérbole horizontal:
Comparando com
vemos que
Passo 3
O centro da hipérbole é o ponto
Os semi-eixos são
Passo 4
Os vértices ficam a uma distância
do centro, ao longo do eixo transverso (horizontal). Assim, os vértices são
Passo 5
O parâmetro
para os focos vem de
Logo, os focos são
Passo 6
As assíntotas de uma hipérbole horizontal na forma
são dadas por
Passo 7
Para esboçar a curva, procedemos assim:
- Marque o centro
. - Desenhe os vértices
e . - Trace as retas-assíntotas
. - Esboce duas curvas que passam pelos vértices e se aproximam das assíntotas quando
.
Resposta
A curva é uma hipérbole horizontal com:
– Centro em .
– Semi-eixos (horizontal) e
(vertical).
– Vértices em e
.
– Focos em .
– Assíntotas dadas por
– Centro em
– Semi-eixos
– Vértices em
– Focos em
– Assíntotas dadas por
O esboço consiste em duas ramificações abrindo para a direita e para a esquerda, centradas em
, aproximando-se das assíntotas acima.