Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
lx=2 cos (t)-1 y=3 sin (t)-2 , 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar e esboçar uma curva parametrizada pelas equações:
l x = 2 cos(t) - 1 y = 3 sin(t) - 2 , 0 <= t <= pi
Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas (seno e cosseno) para entender que tipo de curva estamos analisando. Vamos precisar usar conhecimentos sobre parametrização de curvas e como transformar essas equações para identificar a forma geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar nossa análise:
x + 1 = 2 cos(t)
y + 2 = 3 sin(t)
Dividindo ambas as equações pelos coeficientes dos cossenos e senos, temos:
x + 12 = cos(t)
y + 23 = sin(t)

Passo 3

Sabemos que (x + 12)^2 + (y + 23)^2 = cos^2(t) + sin^2(t) = 1 , então podemos usar essa identidade para combinar as duas equações:
(x + 1)^24 + (y + 2)^29 = 1
Simplificando, temos:

Passo 4

Essa é a equação geral de uma elipse, onde:
  • O termo indica que o semi-eixo horizontal (a) é 2.
  • O termo indica que o semi-eixo vertical (b) é 3.
  • O centro da elipse está em .

Passo 5

Como o parâmetro varia de a , estamos considerando apenas a parte da elipse correspondente a esses valores de . Isso significa que estaremos esboçando a metade superior da elipse completa.

Resposta

A curva parametrizada pelas equações dadas é a metade superior de uma elipse centralizada em , com semi-eixo horizontal de comprimento 2 e semi-eixo vertical de comprimento 3. O esboço dessa curva mostra uma elipse comprimida horizontalmente, começando no ponto , passando pelo topo em e terminando no ponto .

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