Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar e esboçar uma curva parametrizada pelas equações:
Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas (seno e cosseno) para entender que tipo de curva estamos analisando. Vamos precisar usar conhecimentos sobre parametrização de curvas e como transformar essas equações para identificar a forma geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar nossa análise:
Dividindo ambas as equações pelos coeficientes dos cossenos e senos, temos:
Passo 3
Sabemos que
, então podemos usar essa identidade para combinar as duas equações:
Simplificando, temos:
Passo 4
Essa é a equação geral de uma elipse, onde:
- O termo
indica que o semi-eixo horizontal (a) é 2. - O termo
indica que o semi-eixo vertical (b) é 3. - O centro da elipse está em
.
Passo 5
Como o parâmetro
varia de
a
, estamos considerando apenas a parte da elipse correspondente a esses valores de
. Isso significa que estaremos esboçando a metade superior da elipse completa.
Resposta
A curva parametrizada pelas equações dadas é a metade superior de uma elipse centralizada em
, com semi-eixo horizontal de comprimento 2 e semi-eixo vertical de comprimento 3. O esboço dessa curva mostra uma elipse comprimida horizontalmente, começando no ponto
, passando pelo topo em
e terminando no ponto
.