Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
lx=t^2+4 t y=2-t ,-4 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma curva parametrizada definida por e , com variando de -4 até 1. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de curva é essa e fazer um esboço dela no gráfico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas parametrizadas e como relacionar as duas equações para descobrir a forma da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar o parâmetro das duas equações para encontrar uma relação direta entre e . Isso facilita a identificação da curva.

Passo 3

Da equação de y = 2 - t Rightarrow t = 2 - y , temos:
x = (2 - y)^2 + 4(2 - y)
Agora, vamos substituir esse valor de na equação de :

Passo 4

Vamos expandir a expressão para simplificar:
x = (4 - 4y + y^2) + (8 - 4y) = y^2 - 8y + 12
Então, a relação entre x = y^2 - 8y + 12 e é:

Passo 5

Essa é uma equação quadrática em x = y^2 - 8y + 12 , o que nos indica que a curva é uma parábola. Para confirmar, podemos reescrever a equação em uma forma mais familiar:
x = (y^2 - 8y + 16) - 4 = (y - 4)^2 - 4
Podemos completar o quadrado para x + 4 = (y - 4)^2 :
Assim, a equação fica:
Isso mostra que a parábola está “deitada”, ou seja, abre para os lados, e o seu vértice está no ponto .

Passo 6

Agora, sabemos que a curva é uma parábola com vértice em e que abre para a direita, já que o coeficiente de é positivo. Para esboçar, podemos escolher alguns valores de dentro do intervalo e calcular os correspondentes e .

Passo 7

Vamos calcular alguns pontos:
  • Para x = (-4)^2 + 4(-4) = 16 - 16 = 0 :
    y = 2 - (-4) = 6
    x = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4
    Ponto: (0, 6)
  • Para y = 2 - (-2) = 4 :
    x = 0^2 + 4(0) = 0
    y = 2 - 0 = 2
    Ponto: (-4, 4)
  • Para x = 1^2 + 4(1) = 1 + 4 = 5 :
    y = 2 - 1 = 1
    Ponto: (0, 2)
  • Para :
    Ponto: (5, 1)

Passo 8

Com esses pontos e sabendo que a curva é uma parábola que abre para a direita, podemos esboçar o gráfico. O vértice está em (-4, 4), e os pontos calculados ajudam a definir a forma da parábola dentro do intervalo dado de .

Resposta

A curva parametrizada é uma parábola com vértice em que abre para a direita. O esboço da curva passa pelos pontos (0, 6), (-4, 4), (0, 2) e (5, 1), dentro do intervalo de de -4 a 1.

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