Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma curva parametrizada definida por
e
, com
variando de -4 até 1. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de curva é essa e fazer um esboço dela no gráfico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas parametrizadas e como relacionar as duas equações para descobrir a forma da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar eliminar o parâmetro
das duas equações para encontrar uma relação direta entre
e
. Isso facilita a identificação da curva.
Passo 3
Da equação de
, temos:
Agora, vamos substituir esse valor de
na equação de
:
Passo 4
Vamos expandir a expressão para simplificar:
Então, a relação entre
e
é:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática em
, o que nos indica que a curva é uma parábola. Para confirmar, podemos reescrever a equação em uma forma mais familiar:
Podemos completar o quadrado para
:
Assim, a equação fica:
Isso mostra que a parábola está “deitada”, ou seja, abre para os lados, e o seu vértice está no ponto
.
Passo 6
Agora, sabemos que a curva é uma parábola com vértice em
e que abre para a direita, já que o coeficiente de
é positivo. Para esboçar, podemos escolher alguns valores de
dentro do intervalo
e calcular os correspondentes
e
.
Passo 7
Vamos calcular alguns pontos:
-
Para
: Ponto: (0, 6) -
Para
: Ponto: (-4, 4) -
Para
: Ponto: (0, 2) -
Para
: Ponto: (5, 1)
Passo 8
Com esses pontos e sabendo que a curva é uma parábola que abre para a direita, podemos esboçar o gráfico. O vértice está em (-4, 4), e os pontos calculados ajudam a definir a forma da parábola dentro do intervalo dado de
.
Resposta
A curva parametrizada é uma parábola com vértice em
que abre para a direita. O esboço da curva passa pelos pontos (0, 6), (-4, 4), (0, 2) e (5, 1), dentro do intervalo de
de -4 a 1.