Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
.
Passo 1
Este exercício nos pede para identificar e esboçar uma curva parametrizada definida pelas equações:
O conteúdo envolvido aqui é de geometria analítica, especificamente a identificação de curvas a partir de suas equações paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das funções trigonométricas e entender como elas descrevem uma curva no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar eliminar o parâmetro
para obter uma equação que relacione
e
diretamente. Sabemos que:
E
Podemos isolar
na segunda equação:
Passo 3
Usando a identidade trigonométrica básica
, substituímos
e
pelas expressões em termos de
e
:
Passo 4
Vamos simplificar a equação resultante:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Rearranjando, temos:
Passo 5
Reconhecemos esta equação como a de uma elipse. A forma geral da equação de uma elipse é:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
- Centro da elipse:
- Semi-eixo vertical:
- Semi-eixo horizontal:
Resposta
A curva parametrizada é uma elipse com centro no ponto
, semi-eixo maior de comprimento 2 no eixo
e semi-eixo menor de comprimento 1 no eixo
.