Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
lx=cos (2 t) y=2 sin (2 t)-1 , 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Este exercício nos pede para identificar e esboçar uma curva parametrizada definida pelas equações:
l x = cos(2t) y = 2 sin(2t) - 1 , 0 <= t <= 2pi
O conteúdo envolvido aqui é de geometria analítica, especificamente a identificação de curvas a partir de suas equações paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das funções trigonométricas e entender como elas descrevem uma curva no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar o parâmetro x = cos(2t) para obter uma equação que relacione y = 2 sin(2t) - 1 e sin(2t) = y + 12 diretamente. Sabemos que:
E
Podemos isolar na segunda equação:

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica básica (y + 12)^2 + x^2 = 1 , substituímos e pelas expressões em termos de e :

Passo 4

Vamos simplificar a equação resultante:
(y + 1)^24 + x^2 = 1
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
(y + 1)^2 + 4x^2 = 4
Rearranjando, temos:
(y + 1)^24 + x^21 = 1

Passo 5

Reconhecemos esta equação como a de uma elipse. A forma geral da equação de uma elipse é:
(y - k)^2a^2 + (x - h)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação, vemos que:
  • Centro da elipse:
  • Semi-eixo vertical:
  • Semi-eixo horizontal:

Resposta

A curva parametrizada é uma elipse com centro no ponto , semi-eixo maior de comprimento 2 no eixo e semi-eixo menor de comprimento 1 no eixo .

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