Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva parametrizada pelas equações
e
, onde
é um número real. Vamos identificar que tipo de curva é essa e desenhar um esboço dela. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre funções trigonométricas e como elas se comportam quando aparecem em parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações separadamente. A equação
nos diz que o valor de
oscila entre -1 e 1 conforme
varia. Já a equação
também oscila entre -1 e 1, mas com um período diferente porque o ângulo é
em vez de
.
Passo 3
Para entender melhor a curva, podemos tentar eliminar o parâmetro
. Sabemos que
usando a identidade trigonométrica. Como
, podemos substituir na equação de
:
Isso mostra que a curva é uma parábola que abre para baixo.
Passo 4
Agora que identificamos a equação cartesiana
, podemos esboçar a curva. Ela terá seu vértice no ponto (0,1) e descerá para os lados conforme
aumenta ou diminui, formando uma parábola.
Resposta
A curva parametrizada por
e
é uma parábola definida pela equação
. O esboço dessa curva é uma parábola que abre para baixo com vértice no ponto (0,1).