Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para identificar e esboçar a curva parametrizada pelas equações:
Isso está dentro do estudo de curvas parametrizadas na matemática. Para resolver, vamos precisar eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
. Depois disso, vamos identificar que tipo de curva temos e como ela se comporta no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro
. Começamos com a primeira equação:
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, substituímos esse valor na segunda equação:
Aqui, usamos a propriedade dos exponenciais que diz que
.
Passo 4
Simplificamos a expressão de
:
Então, a relação entre
e
é:
Passo 5
A equação
é conhecida como uma hipérbole. Essa hipérbole tem dois ramos que geralmente ficam no primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano. Porém, observando as equações originais:
Vemos que toda a curva está no primeiro quadrante, já que tanto
quanto
são sempre positivos.
Passo 6
Para ter uma noção melhor, vamos calcular alguns pontos da curva para diferentes valores de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Plotando esses pontos, vemos que a curva se aproxima dos eixos
e
, formando uma hipérbole que fica inteira no primeiro quadrante.
Resposta
A curva parametrizada pelas equações
e
é uma hipérbole representada por
, localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano.