Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
lx=e^t y=e^-t , t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para identificar e esboçar a curva parametrizada pelas equações:
l x = e^t y = e^-t , t in R
Isso está dentro do estudo de curvas parametrizadas na matemática. Para resolver, vamos precisar eliminar o parâmetro e encontrar uma relação direta entre e . Depois disso, vamos identificar que tipo de curva temos e como ela se comporta no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro x = e^t . Começamos com a primeira equação:
t = ln(x)
Para isolar , aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Agora que temos y = e^-t = e^-ln(x) em termos de , substituímos esse valor na segunda equação:
Aqui, usamos a propriedade dos exponenciais que diz que .

Passo 4

Simplificamos a expressão de y = 1e^ln(x) = 1x :
y = 1x
Então, a relação entre e é:

Passo 5

A equação x = e^t > 0 e y = e^-t > 0 é conhecida como uma hipérbole. Essa hipérbole tem dois ramos que geralmente ficam no primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano. Porém, observando as equações originais:
Vemos que toda a curva está no primeiro quadrante, já que tanto quanto são sempre positivos.

Passo 6

Para ter uma noção melhor, vamos calcular alguns pontos da curva para diferentes valores de x = e^0 = 1 y = e^0 = 1 Rightarrow (1, 1) :
  • Para x = e^1 approx 2.718 y = e^-1 approx 0.368 Rightarrow (2.718, 0.368) :
    x = e^-1 approx 0.368 y = e^1 approx 2.718 Rightarrow (0.368, 2.718)
  • Para :
  • Para :
Plotando esses pontos, vemos que a curva se aproxima dos eixos e , formando uma hipérbole que fica inteira no primeiro quadrante.

Resposta

A curva parametrizada pelas equações e é uma hipérbole representada por , localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano.

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