Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa identificar e desenhar uma curva parametrizada dada pelas equações
e
, onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática paramétrica e entender como transformar essas equações em uma curva no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas parametrizadas. Basicamente, elas usam um parâmetro, nesse caso o
, para definir as coordenadas
e
. Isso permite que a gente descreva movimentos ou caminhos de uma forma mais flexível. Aqui,
e
são funções lineares de
, o que já dá uma pista de que a curva será uma linha reta.
Passo 3
Para identificar a curva, vamos tentar eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
. A equação para
é
. Vamos resolver para
:
Agora, substituímos essa expressão de
na equação de
:
Passo 4
Vamos simplificar a equação de
:
Então, a relação entre
e
é:
Essa é a equação de uma reta no plano, com inclinação
e interceptação no eixo
em
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os pontos iniciais e finais da curva para esboçá-la. Para isso, substituímos os valores extremos de
:
-
Quando
: Ponto inicial: -
Quando
: Ponto final:
Passo 6
Com esses dois pontos, sabemos que a curva é uma linha reta que começa em
e vai até
. Para esboçar, basta desenhar uma linha conectando esses dois pontos no gráfico.
Resposta
A curva parametrizada é uma reta que vai do ponto
até
. Ela pode ser representada pela equação
.