Identifique e esboce as curvas parametrizadas abaixo.
lx=3 t+1 y=5 t-2 , 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa identificar e desenhar uma curva parametrizada dada pelas equações e , onde varia de a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática paramétrica e entender como transformar essas equações em uma curva no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas parametrizadas. Basicamente, elas usam um parâmetro, nesse caso o , para definir as coordenadas e . Isso permite que a gente descreva movimentos ou caminhos de uma forma mais flexível. Aqui, e são funções lineares de , o que já dá uma pista de que a curva será uma linha reta.

Passo 3

Para identificar a curva, vamos tentar eliminar o parâmetro t = x - 13 e encontrar uma relação direta entre y = 5(x - 13) - 2 e . A equação para é . Vamos resolver para :
Agora, substituímos essa expressão de na equação de :

Passo 4

Vamos simplificar a equação de y = 5(x - 1)3 - 2 = 5x - 53 - 2 = 5x - 5 - 63 = 5x - 113 :
y = 5x - 113
Então, a relação entre e é:
Essa é a equação de uma reta no plano, com inclinação e interceptação no eixo em .

Passo 5

Agora, vamos determinar os pontos iniciais e finais da curva para esboçá-la. Para isso, substituímos os valores extremos de x = 3(0) + 1 = 1 :
  • Quando y = 5(0) - 2 = -2 :
    x = 3pi + 1
    y = 5pi - 2
    Ponto inicial:
  • Quando :
    Ponto final:

Passo 6

Com esses dois pontos, sabemos que a curva é uma linha reta que começa em e vai até . Para esboçar, basta desenhar uma linha conectando esses dois pontos no gráfico.

Resposta

A curva parametrizada é uma reta que vai do ponto até . Ela pode ser representada pela equação .

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