Nos Problemas 29-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
y^prime prime+4 y^prime+5 y=35 e^-4 x, y(0)=-3, y^prime(0)=134 , y^prime prime-y=cosh x, y(0)=2, y^prime(0)=12

Passo 1

Temos duas equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e termos forçados. A primeira é
y''+4y'+5y=35e^-4x, y(0)=-3, y'(0)=134, e a segunda é
y''-y=cosh x, y(0)=2, y'(0)=12 Para resolver vamos usar o método da solução geral como soma da homogênea e de uma particular e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para a primeira equação homogênea
y''+4y'+5y=0 escrevemos a equação característica
r^2+4r+5=0 cujas raízes são
r=-2pm i Logo a solução homogênea é
yh=e^-2x(Acos x+Bsin x)

Passo 3

Como o termo forçado é exponencial, fazemos o palpite
yp=C e^-4x Substituindo em y''+4y'+5y:
yp'=-4C e^-4x, yp''=16C e^-4x,
yp''+4yp'+5yp=(16C-16C+5C)e^-4x=5C e^-4x Igualando a 35e^-4x obtemos 5C=35 e, portanto, C=7.

Passo 4

A solução geral da primeira equação é
y=e^-2x(Acos x+Bsin x)+7e^-4x Derivando, encontramos
y'=e^-2x[(B-2A)cos x-(2B+A)sin x]-28e^-4x Aplicando condições iniciais em x=0:
y(0)=A+7=-3implies A=-10,
y'(0)=B-8=134implies B=142

Passo 5

Concluímos para a primeira equação
y(x)=e^-2x(-10cos x+142sin x)+7e^-4x

Passo 6

Para a segunda equação homogênea
y''-y=0 a característica é
r^2-1=0implies r=pm1, logo
yh=C e^x+D e^-x

Passo 7

O termo forçado é cosh x=tfrace^x+e^-x2, então o palpite é
yp=a x e^x+b x e^-x Calculando yp''-yp:
yp''-yp=2a e^x-2b e^-x, igualando a cosh x=tfrace^x+e^-x2
2a=tfrac12implies a=tfrac14, -2b=tfrac12implies b=-tfrac14 Portanto
yp=tfrac14(x e^x - x e^-x)=tfrac x2sinh x

Passo 8

A solução geral da segunda equação é
y=C e^x+D e^-x+tfrac x2sinh x Aplicando y(0)=C+D=2 e y'(0)=C-D=12 resulta em
C=7, D=-5

Passo 9

Concluímos para a segunda equação
y(x)=7e^x -5e^-x+tfrac x2sinh x

Resposta

Para a primeira: y(x)=e^-2x(-10cos x+142sin x)+7e^-4x Para a segunda: y(x)=7e^x-5e^-x+tfrac x2sinh x

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