Identifique e esboce o gráfico das superfícies destacando os traços com os planos coordenados:
x=-z^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a superfície pela equação
x = -z^{2} + y^{2}
e pede duas coisas: (1) identificar a superfície e (2) esboçar o gráfico destacando os traços com os planos coordenados.
Informações relevantes que temos (sem resolver ainda):
  • A equação relaciona x, y e z de forma quadrática em y e z e linear em x.
  • Precisa-se explicitamente dos traços com os planos coordenados (os planos \{x=0\}, \{y=0\} e \{z=0\}) para auxiliar no esboço.

Passo 2

O que é traço: traço (ou seção) é a curva dada pela interseção da superfície com um plano. Os planos coordenados são:
\text{plano }yz:\\ x=0,\qquad \text{plano }xz:\\ y=0,\qquad \text{plano }xy:\\ z=0.
Para achar cada traço, basta substituir a equação do plano na equação da superfície e simplificar. Vou fazer isso passo a passo, explicando bem o que cada resultado significa geometricamente.

Passo 3

Traço com o plano yz (ou seja, \,x=0\,). Substituindo \,x=0\, em
x = -z^{2} + y^{2}
obtém-se
0 = -z^{2} + y^{2}\quad\Longrightarrow\quad y^{2}-z^{2}=0.
Fatorando:
(y-z)(y+z)=0,
logo as curvas de interseção no plano x=0 são as duas retas
y = z \quad\text{e}\quad y = -z
passando pela origem no plano x=0. Em linguagem informal: no plano x=0 o traço são duas retas cruzadas formando um “X”.

Passo 4

Traço com o plano xz (ou seja, \,y=0\,). Substituindo \,y=0\, na equação:
x = -z^{2} + 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -z^{2}.
Isso é uma parábola no plano y=0 (plano xz), com vértice na origem, que se abre no sentido negativo de x quando z varia. Geometricamente: olhando no plano y=0, a curva é uma parábola com cima para a esquerda (eixo paralelo ao eixo z, vértice em (x,z)=(0,0)).

Passo 5

Traço com o plano xy (ou seja, \,z=0\,). Substituindo \,z=0\,:
x = -0 + y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x = y^{2}.
Isso é outra parábola, agora no plano z=0 (plano xy), com vértice na origem, que se abre no sentido positivo de x quando y varia. Geometricamente: no plano z=0 a parábola abre para a direita.

Passo 6

Interpretação das seções gerais e forma da superfície. Fixando um valor de \,y constante, digamos \,y=k\,, a equação vira
x = k^{2} - z^{2}.
Para cada k isso é uma parábola em função de z com coeficiente -1 em z^{2}, portanto uma parábola invertida (máximo em z=0, valor máximo x=k^{2}) — ela se abre em direção ao lado negativo de x. Fixando \,z constante, digamos \,z=k\,, obtemos
x = y^{2} - k^{2},
que é uma parábola em y abrindo para o lado positivo de x. Ou seja: numa direção (variações em y) a superfície é “parabólica para a direita” e na outra direção (variações em z) é “parabólica para a esquerda”. Essa oposição de curvaturas é a característica de uma sela.

Passo 7

Seções por planos \,x=c (planos perpendiculares ao eixo x). Para x=c temos
y^{2}-z^{2}=c.
  • Se c=0: resulta nas duas retas y=\pm z (já visto no plano x=0).
  • Se c\neq 0: a equação acima é a de uma hipérbole no plano x=c. As assíntotas dessas hipérboles são y=\pm z. Isso confirma o comportamento “sela”: cortes por planos paralelos ao plano yz são hipérboles que mudam de abertura conforme c.

Passo 8

Identificação da superfície. Com base nas observações:
  • tem termos quadráticos em y e em z com sinais opostas,
  • cortes y=const e z=const dão parábolas com curvaturas opostas,
  • cortes x=const dão hipérboles,
    conclui-se que a superfície é um paraboloide hiperbólico (também chamado de superfície em forma de sela). A equação pode ser escrita de forma simples como
x = y^{2} - z^{2},
que é a forma canônica de um paraboloide hiperbólico com o “eixo” principal ao longo de x.

Passo 9

Como esboçar (passo-a-passo prático para fazer no papel — sem régua complicada):
  1. Desenhar os eixos coordenados: eixo x apontando para a direita, eixo y para cima no plano da folha e eixo z saindo/entrando da folha (ou pode desenhar z para cima num plano auxiliar — escolha a convenção com que esteja mais à vontade).
  2. No plano z=0 (o plano da folha, se usar essa convenção) desenhe a parábola \,x=y^{2}\, abrindo para a direita; marque pontos simples: (y,x)=(0,0),(1,1),(-1,1),(2,4).
  3. No plano y=0 (plano vertical perpendicular ao anterior) desenhe a parábola \,x=-z^{2}\, abrindo para a esquerda; marque (z,x)=(0,0),(1,-1),(-1,-1).
  4. No plano x=0 desenhe as retas y=\pm z (cruzando na origem).
  5. Entre essas curvas, trace suavemente superfícies que se ajustem: para valores x>0 verá “cristas” vindas das parábolas x=y^{2} (maior abertura para maiores |y|), e para x<0 verá “vales” vindos das parábolas x=-z^{2}. Desenhe algumas hipérboles em planos x=c (cortes paralelos ao plano yz) para dar a ideia da sela.
    Dica prática: marque pontos como (y,z,x)=(1,0,1), (0,1,-1), (2,1,3) (porque x=2^{2}-1^{2}=3) e ligue-os de forma suave respeitando as curvas que já desenhou.

Passo 10

Recapitulando de forma bem direta: a superfície é uma sela/paraboloide hiperbólico com eixo longitudinal em x. Os traços importantes sono:
  • no plano x=0: retas \,y=\pm z;\
  • no plano y=0: parábola \,x=-z^{2};\
  • no plano z=0: parábola \,x=y^{2}.
Força aí — com esses traços e alguns cortes por x=const e por y=const ou z=const você consegue esboçar uma boa imagem da sela na folha.

Resposta

A superfície é um paraboloide hiperbólico (sela) dado por \,x=y^{2}-z^{2}.\nTraços: no plano x=0: y=\pm z;\nno plano y=0: x=-z^{2};\nno plano z=0: x=y^{2}.

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