Identifique e esboce o gráfico das superfícies destacando os traços com os planos coordenados:
Passo 1
O enunciado dá a superfície pela equação
e pede duas coisas: (1) identificar a superfície e (2) esboçar o gráfico destacando os traços com os planos coordenados.
Informações relevantes que temos (sem resolver ainda):
Informações relevantes que temos (sem resolver ainda):
- A equação relaciona
, e de forma quadrática em e e linear em . - Precisa-se explicitamente dos traços com os planos coordenados (os planos
, e ) para auxiliar no esboço.
Passo 2
O que é traço: traço (ou seção) é a curva dada pela interseção da superfície com um plano. Os planos coordenados são:
Para achar cada traço, basta substituir a equação do plano na equação da superfície e simplificar. Vou fazer isso passo a passo, explicando bem o que cada resultado significa geometricamente.
Passo 3
Traço com o plano
(ou seja,
). Substituindo
em
obtém-se
Fatorando:
logo as curvas de interseção no plano
são as duas retas
passando pela origem no plano
. Em linguagem informal: no plano
o traço são duas retas cruzadas formando um “X”.
Passo 4
Traço com o plano
(ou seja,
). Substituindo
na equação:
Isso é uma parábola no plano
(plano
), com vértice na origem, que se abre no sentido negativo de
quando
varia. Geometricamente: olhando no plano
, a curva é uma parábola com cima para a esquerda (eixo paralelo ao eixo
, vértice em
).
Passo 5
Traço com o plano
(ou seja,
). Substituindo
:
Isso é outra parábola, agora no plano
(plano
), com vértice na origem, que se abre no sentido positivo de
quando
varia. Geometricamente: no plano
a parábola abre para a direita.
Passo 6
Interpretação das seções gerais e forma da superfície. Fixando um valor de
constante, digamos
, a equação vira
Para cada
isso é uma parábola em função de
com coeficiente
em
, portanto uma parábola invertida (máximo em
, valor máximo
) — ela se abre em direção ao lado negativo de
. Fixando
constante, digamos
, obtemos
que é uma parábola em
abrindo para o lado positivo de
. Ou seja: numa direção (variações em
) a superfície é “parabólica para a direita” e na outra direção (variações em
) é “parabólica para a esquerda”. Essa oposição de curvaturas é a característica de uma sela.
Passo 7
Seções por planos
(planos perpendiculares ao eixo
). Para
temos
- Se
: resulta nas duas retas (já visto no plano ). - Se
: a equação acima é a de uma hipérbole no plano . As assíntotas dessas hipérboles são . Isso confirma o comportamento “sela”: cortes por planos paralelos ao plano são hipérboles que mudam de abertura conforme .
Passo 8
Identificação da superfície. Com base nas observações:
- tem termos quadráticos em
e em com sinais opostas, - cortes
const e const dão parábolas com curvaturas opostas, - cortes
const dão hipérboles,
conclui-se que a superfície é um paraboloide hiperbólico (também chamado de superfície em forma de sela). A equação pode ser escrita de forma simples como
que é a forma canônica de um paraboloide hiperbólico com o “eixo” principal ao longo de
.
Passo 9
Como esboçar (passo-a-passo prático para fazer no papel — sem régua complicada):
- Desenhar os eixos coordenados: eixo
apontando para a direita, eixo para cima no plano da folha e eixo saindo/entrando da folha (ou pode desenhar para cima num plano auxiliar — escolha a convenção com que esteja mais à vontade). - No plano
(o plano da folha, se usar essa convenção) desenhe a parábola abrindo para a direita; marque pontos simples: . - No plano
(plano vertical perpendicular ao anterior) desenhe a parábola abrindo para a esquerda; marque . - No plano
desenhe as retas (cruzando na origem). - Entre essas curvas, trace suavemente superfícies que se ajustem: para valores
verá “cristas” vindas das parábolas (maior abertura para maiores ), e para verá “vales” vindos das parábolas . Desenhe algumas hipérboles em planos (cortes paralelos ao plano ) para dar a ideia da sela.
Dica prática: marque pontos como, , (porque ) e ligue-os de forma suave respeitando as curvas que já desenhou.
Passo 10
Recapitulando de forma bem direta: a superfície é uma sela/paraboloide hiperbólico com eixo longitudinal em
. Os traços importantes sono:
- no plano
: retas ;\ - no plano
: parábola ;\ - no plano
: parábola .
Força aí — com esses traços e alguns cortes por
const e por
const ou
const você consegue esboçar uma boa imagem da sela na folha.
Resposta
A superfície é um paraboloide hiperbólico (sela) dado por
.\nTraços: no plano
:
;\nno plano
:
;\nno plano
:
.