Identifique e esboce o gráfico das superfícies destacando os traços com os planos coordenados:
z=\ln y

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por z=\ln y, destacando os traços dessa superfície com os planos coordenados. Informações dadas e perguntas a responder:
  • Equação da superfície: z=\ln y.
  • Que traços com os planos coordenados devemos obter e descrever: interseção com o plano x=0 (plano yz), com o plano y=0 (plano xz) e com o plano z=0 (plano xy).
  • Também é necessário entender o domínio da superfície (valores de y permitidos) e dar instruções claras para esboçar o gráfico.

Passo 2

Domínio e parametrização — o primeiro passo para entender a superfície é ver para quais valores de y a equação faz sentido.
  • A função logaritmo natural \ln y está definida apenas para y>0. Logo o domínio da superfície é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y>0\}.
  • Podemos parametrizar a superfície explicitamente por
\mathbf{r}(x,y)=(x,y,\ln y),\qquad x\in\mathbb{R},\; y>0.
Isso significa que para cada valor de y>0 e qualquer x temos um ponto da superfície.

Passo 3

Interpretação geométrica simples — como a equação não envolve x, o valor de z depende só de y. Consequências:
  • Para cada valor fixo de y=y_0>0 o conjunto de pontos \{(x,y_0,\ln y_0):x\in\mathbb{R}\} é uma reta paralela ao eixo x (constante em y e z). Ou seja, a superfície é obtida ao “extrudir” a curva z=\ln y no plano yz ao longo do eixo x.
  • Por isso a superfície é uma superfície cilíndrica (no sentido de ser invariantemente traduzida ao longo do eixo x), com geratrizes paralelas ao eixo x.

Passo 4

Traço com o plano x=0 (plano yz) — calcule a interseção impondo x=0.
  • Colocando x=0 na equação obtém-se a curva no plano yz
\{(0,y,\ln y)\mid y>0\}.
  • Esta curva é exatamente o gráfico da função z=\ln y no plano yz. Pontos notáveis: (0,1,0) porque \ln 1=0; (0,e,1) porque \ln e=1; (0,1/e,-1) porque \ln(1/e)=-1. Quando y\to0^+ tem-se z=\ln y\to -\infty (a curva desce infinitamente perto de y=0); quando y\to+\infty, z\to+\infty (cresce lentamente).
  • Curvatura: a segunda derivada \dfrac{d^2z}{dy^2} = -\dfrac{1}{y^2}<0, então a curva é crescente e côncava para baixo no plano yz.

Passo 5

Traço com o plano y=0 (plano xz) — impondo y=0.
  • A equação pede \;z=\ln y\; com y=0, mas \ln 0 não é definida. Portanto não existem pontos da superfície com y=0.
  • Conclusão: não há interseção da superfície com o plano y=0. Em termos de esboço, a reta y=0 (plano xz) é um “limite” vertical do domínio: a superfície se aproxima de y=0 fazendo z\to -\infty, mas não toca o plano.

Passo 6

Traço com o plano z=0 (plano xy) — impondo z=0.
  • Resolver \ln y=0 y=1.
  • A interseção é, portanto, a reta
\{(x,1,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
ou seja, a reta paralela ao eixo x que se encontra no plano z=0 e em y=1. No esboço essa reta aparece como a linha onde a superfície corta o plano xy.

Passo 7

Como esboçar a superfície passo a passo (instrução prática que dá para fazer à mão):
  1. Desenhe os três eixos x,y,z com y apontando para a direita (ou para frente), z vertical para cima e x saindo/entrando conforme o seu gosto.
  2. No plano x=0 (o plano yz) trace a curva z=\ln y apenas para y>0. Marque (0,1,0), (0,e,1) e (0,1/e,-1). Mostre a assimptota vertical que a curva “segue” quando y\to0^+ (vai para baixo).
  3. A partir dessa curva, “puxe” linhas paralelas ao eixo x para frente e para trás: cada ponto da curva gera uma reta paralela ao eixo x. O conjunto dessas retas é a superfície completa.
  4. Marque a interseção com o plano z=0: a reta y=1 (para todo x). Indique que não há interseção com y=0 (a superfície não atinge o plano y=0).

Passo 8

Comportamento assintótico e observações finais úteis para a prova:
  • Para y\to0^+: z=\ln y\to -\infty. Gráfico desce indefinidamente perto de y=0.
  • Para y\to+\infty: z\to+\infty, mas cresce lentamente (logaritmicamente).
  • A independência em relação a x torna o desenho simples: basta desenhar z=\ln y no plano yz e replicar ao longo de x.

Resposta

Superfície: \mathbf{r}(x,y)=(x,y,\ln y),\;x\in\mathbb{R},\;y>0. É uma superfície obtida por extrusão da curva z=\ln y no plano yz ao longo do eixo x (invariante em x).
Traços com planos coordenados:
  • Com x=0 (plano yz): \{(0,y,\ln y)\mid y>0\} (curva logarítmica z=\ln y).
  • Com y=0 (plano xz): nenhuma interseção (domínio exige y>0).
  • Com z=0 (plano xy): \{(x,1,0)\mid x\in\mathbb{R}\} (reta y=1 no plano z=0).

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