Identifique e esboce o gráfico das superfícies destacando os traços com os planos coordenados:
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
, destacando os traços dessa superfície com os planos coordenados. Informações dadas e perguntas a responder:
- Equação da superfície:
. - Que traços com os planos coordenados devemos obter e descrever: interseção com o plano
(plano ), com o plano (plano ) e com o plano (plano ). - Também é necessário entender o domínio da superfície (valores de
permitidos) e dar instruções claras para esboçar o gráfico.
Passo 2
Domínio e parametrização — o primeiro passo para entender a superfície é ver para quais valores de
a equação faz sentido.
- A função logaritmo natural
está definida apenas para . Logo o domínio da superfície é
- Podemos parametrizar a superfície explicitamente por
Isso significa que para cada valor de
e qualquer
temos um ponto da superfície.
Passo 3
Interpretação geométrica simples — como a equação não envolve
, o valor de
depende só de
. Consequências:
- Para cada valor fixo de
o conjunto de pontos é uma reta paralela ao eixo (constante em e ). Ou seja, a superfície é obtida ao “extrudir” a curva no plano ao longo do eixo . - Por isso a superfície é uma superfície cilíndrica (no sentido de ser invariantemente traduzida ao longo do eixo
), com geratrizes paralelas ao eixo .
Passo 4
Traço com o plano
(plano
) — calcule a interseção impondo
.
- Colocando
na equação obtém-se a curva no plano
- Esta curva é exatamente o gráfico da função
no plano . Pontos notáveis: porque ; porque ; porque . Quando tem-se (a curva desce infinitamente perto de ); quando , (cresce lentamente). - Curvatura: a segunda derivada
, então a curva é crescente e côncava para baixo no plano .
Passo 5
Traço com o plano
(plano
) — impondo
.
- A equação pede
com , mas não é definida. Portanto não existem pontos da superfície com . - Conclusão: não há interseção da superfície com o plano
. Em termos de esboço, a reta (plano ) é um “limite” vertical do domínio: a superfície se aproxima de fazendo , mas não toca o plano.
Passo 6
Traço com o plano
(plano
) — impondo
.
- Resolver
dá . - A interseção é, portanto, a reta
ou seja, a reta paralela ao eixo
que se encontra no plano
e em
. No esboço essa reta aparece como a linha onde a superfície corta o plano
.
Passo 7
Como esboçar a superfície passo a passo (instrução prática que dá para fazer à mão):
- Desenhe os três eixos
com apontando para a direita (ou para frente), vertical para cima e saindo/entrando conforme o seu gosto. - No plano
(o plano ) trace a curva apenas para . Marque , e . Mostre a assimptota vertical que a curva “segue” quando (vai para baixo). - A partir dessa curva, “puxe” linhas paralelas ao eixo
para frente e para trás: cada ponto da curva gera uma reta paralela ao eixo . O conjunto dessas retas é a superfície completa. - Marque a interseção com o plano
: a reta (para todo ). Indique que não há interseção com (a superfície não atinge o plano ).
Passo 8
Comportamento assintótico e observações finais úteis para a prova:
- Para
: . Gráfico desce indefinidamente perto de . - Para
: , mas cresce lentamente (logaritmicamente). - A independência em relação a
torna o desenho simples: basta desenhar no plano e replicar ao longo de .
Resposta
Superfície:
. É uma superfície obtida por extrusão da curva
no plano
ao longo do eixo
(invariante em
).
Traços com planos coordenados:
Traços com planos coordenados:
- Com
(plano ): (curva logarítmica ). - Com
(plano ): nenhuma interseção (domínio exige ). - Com
(plano ): (reta no plano ).