Dados os pontos A=(-1,0,2), B=(2,1,1) e C=(0,-1,-2) :
(a) Encontre a equação cartesiana do plano \Pi que passa por estes 3 pontos.
(b) Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P(1,2,-1) e é perpendicular ao plano \Pi.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço e pede duas coisas:
  • (a) A equação cartesiana do plano \Pi que passa por A=(-1,0,2), B=(2,1,1) e C=(0,-1,-2).
  • (b) As equações paramétricas da reta que passa por P=(1,2,-1) e é perpendicular ao plano \Pi.
Informações relevantes dadas:
  • A = (-1,0,2).
  • B = (2,1,1).
  • C = (0,-1,-2).
  • P = (1,2,-1).

Passo 2

Para achar a equação de um plano a partir de três pontos é útil calcular dois vetores que pertencem ao plano e então extrair um vetor normal ao plano através do produto vetorial (cross product). Primeiro vou formar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} subtraindo coordenadas.
Calcular \overrightarrow{AB} = B - A e \overrightarrow{AC} = C - A:
\overrightarrow{AB} = (2-(-1),\;1-0,\;1-2) = (3,\,1,\,-1).
\overrightarrow{AC} = (0-(-1),\;-1-0,\;-2-2) = (1,\,-1,\,-4).

Passo 3

Agora preciso de um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Para isso uso o produto vetorial
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Lembrete do produto vetorial em coordenadas: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Aplicando com \overrightarrow{AB}=(3,1,-1) e \overrightarrow{AC}=(1,-1,-4):
\begin{aligned} n_1 &= 1\cdot(-4)-(-1)\cdot(-1) = -4-1 = -5,\\[4pt] n_2 &= (-1)\cdot1-3\cdot(-4) = -1+12 = 11,\\[4pt] n_3 &= 3\cdot(-1)-1\cdot1 = -3-1 = -4. \end{aligned}
Logo \mathbf{n}=(-5,\,11,\,-4). Esse vetor é perpendicular ao plano \Pi.]

Passo 4

A forma ponto-normal do plano com normal \mathbf{n}=(a,b,c) passando por um ponto A=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Usando \mathbf{n}=(-5,11,-4) e o ponto A=(-1,0,2):
-5\bigl(x-(-1)\bigr)+11\bigl(y-0\bigr)-4\bigl(z-2\bigr)=0.
Simplificando:
-5(x+1)+11y-4(z-2)=0
-5x-5+11y-4z+8=0
-5x+11y-4z+3=0.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente positivo em x (opcional):
5x-11y+4z-3=0.
Verificação rápida (útil na prova): substituindo B e C nessa equação obtém-se 0, então a equação está correta.

Passo 5

Agora a reta que é perpendicular ao plano \Pi tem direção paralela ao vetor normal \mathbf{n}. Então um vetor diretor da reta é \mathbf{v}=\mathbf{n}=(-5,11,-4). A forma vetorial da reta que passa por P=(1,2,-1) é
\mathbf{r}(t)=P+t\mathbf{v}=(1,2,-1)+t(-5,11,-4).
Das componentes vetoriais extraem-se as equações paramétricas:
x=1-5t,\qquad y=2+11t,\qquad z=-1-4t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

5x-11y+4z-3=0
x=1-5t,\;y=2+11t,\;z=-1-4t,\;t\in\mathbb{R}

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