Dados os pontos A=(-1,0,2), B=(2,1,1) e C=(0,-1,-2) :
(a) Encontre a equação cartesiana do plano \Pi que passa por estes 3 pontos.
(b) Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P(1,2,-1) e é perpendicular ao plano \Pi.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço e pede duas coisas:
(a) A equação cartesiana do plano \Pi que passa por A=(-1,0,2), B=(2,1,1) e C=(0,-1,-2).
(b) As equações paramétricas da reta que passa por P=(1,2,-1) e é perpendicular ao plano \Pi.
Informações relevantes dadas:
A = (-1,0,2).
B = (2,1,1).
C = (0,-1,-2).
P = (1,2,-1).
Passo 2
Para achar a equação de um plano a partir de três pontos é útil calcular dois vetores que pertencem ao plano e então extrair um vetor normal ao plano através do produto vetorial (cross product). Primeiro vou formar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} subtraindo coordenadas.
Calcular \overrightarrow{AB} = B - A e \overrightarrow{AC} = C - A:
Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente positivo em x (opcional):
5x-11y+4z-3=0.
Verificação rápida (útil na prova): substituindo B e C nessa equação obtém-se 0, então a equação está correta.
Passo 5
Agora a reta que é perpendicular ao plano \Pi tem direção paralela ao vetor normal \mathbf{n}. Então um vetor diretor da reta é \mathbf{v}=\mathbf{n}=(-5,11,-4). A forma vetorial da reta que passa por P=(1,2,-1) é
\mathbf{r}(t)=P+t\mathbf{v}=(1,2,-1)+t(-5,11,-4).
Das componentes vetoriais extraem-se as equações paramétricas: