O que se pede: encontrar uma representação paramétrica da reta L, ou seja, expressar x,y,z em função de um parâmetro t.
Passo 2
Ideia e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
A interseção de dois planos não paralelos é uma reta. Essa reta tem uma direção que é ortogonal aos vetores normais dos planos.
O vetor normal do plano \,2x+y+3z=1, é o vetor \mathbf{n}_1=(2,1,3) (porque os coeficientes de x,y,z formam o normal).
O vetor normal do plano \,x-4y-2z=1, é o vetor \mathbf{n}_2=(1,-4,-2).
O vetor direção \mathbf{d} da reta é perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2, logo pode ser obtido pelo produto vetorial \mathbf{d}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Agora calculamos o produto vetorial passo a passo. Usamos a regra do determinante:
Precisamos agora de um ponto qualquer que pertença à reta [L). Para isso, resolvemos o sistema formado pelas duas equações dos planos. Uma forma simples é fixar um valor para uma variável e resolver para as outras; escolho z=0 (essa escolha é válida sempre que resultar em solução).
Substituindo z=0 nas equações:
\begin{cases} 2x+y=1,\\[4pt] x-4y=1. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação isolamos y\]:
\[y=1-2x.\]
Substituindo na segunda:
\[x-4(1-2x)=1.\]
Desenvolvendo:
\[x-4+8x=1 \quad\Rightarrow\quad 9x-4=1 \quad\Rightarrow\quad 9x=5 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5}{9}.\]
Então
\[y=1-2\cdot\dfrac{5}{9}=1-\dfrac{10}{9}=\dfrac{9-10}{9}=-\dfrac{1}{9}.\]
Com \(z=0 obtemos o ponto
P\left(\dfrac{5}{9},-\dfrac{1}{9},0\right)
que pertence a ambos os planos, logo pertence à reta L.]
Passo 4
Agora montamos as equações paramétricas da reta usando a forma ponto-direção. Se t\in\mathbb{R} for o parâmetro, então:
Verificação rápida (para ganhar confiança): ao substituir x,y,z das paramétricas nas equações dos planos ambas ficam identicamente verdadeiras para todo t (pode-se checar substituindo e simplificando), o que confirma que a reta está correta.