Determine as equações paramétricas da reta L, interseção dos planos
2 x+y+3 z=1 \text { e } x-4 y-2 z=1

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede as equações paramétricas da reta L que é a interseção desses planos. As informações fornecidas são:
\text{Plano 1: }2x+y+3z=1, \qquad \text{Plano 2: }x-4y-2z=1.
O que se pede: encontrar uma representação paramétrica da reta L, ou seja, expressar x,y,z em função de um parâmetro t.

Passo 2

Ideia e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • A interseção de dois planos não paralelos é uma reta. Essa reta tem uma direção que é ortogonal aos vetores normais dos planos.
  • O vetor normal do plano \,2x+y+3z=1, é o vetor \mathbf{n}_1=(2,1,3) (porque os coeficientes de x,y,z formam o normal).
  • O vetor normal do plano \,x-4y-2z=1, é o vetor \mathbf{n}_2=(1,-4,-2).
  • O vetor direção \mathbf{d} da reta é perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2, logo pode ser obtido pelo produto vetorial \mathbf{d}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Agora calculamos o produto vetorial passo a passo. Usamos a regra do determinante:
\mathbf{d}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & 3 \\\\ 1 & -4 & -2 \end{vmatrix}.
Calculando as componentes uma a uma:
\begin{aligned} d_x &= 1\cdot(-2)-3\cdot(-4) = -2+12=10,\\[4pt] d_y &= -\big(2\cdot(-2)-3\cdot1\big)= -(-4-3)=7,\\[4pt] d_z &= 2\cdot(-4)-1\cdot1 = -8-1=-9. \end{aligned}
Portanto o vetor direção é \mathbf{d}=(10,7,-9).]

Passo 3

Precisamos agora de um ponto qualquer que pertença à reta [L). Para isso, resolvemos o sistema formado pelas duas equações dos planos. Uma forma simples é fixar um valor para uma variável e resolver para as outras; escolho z=0 (essa escolha é válida sempre que resultar em solução).
Substituindo z=0 nas equações:
\begin{cases} 2x+y=1,\\[4pt] x-4y=1. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação isolamos y\]: \[y=1-2x.\] Substituindo na segunda: \[x-4(1-2x)=1.\] Desenvolvendo: \[x-4+8x=1 \quad\Rightarrow\quad 9x-4=1 \quad\Rightarrow\quad 9x=5 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5}{9}.\] Então \[y=1-2\cdot\dfrac{5}{9}=1-\dfrac{10}{9}=\dfrac{9-10}{9}=-\dfrac{1}{9}.\] Com \(z=0 obtemos o ponto
P\left(\dfrac{5}{9},-\dfrac{1}{9},0\right)
que pertence a ambos os planos, logo pertence à reta L.]

Passo 4

Agora montamos as equações paramétricas da reta usando a forma ponto-direção. Se t\in\mathbb{R} for o parâmetro, então:
(x,y,z)=P+t\,\mathbf{d}.
Substituindo P e \mathbf{d}:
(x,y,z)=\left(\dfrac{5}{9},-\dfrac{1}{9},0\right)+t(10,7,-9).
Escrevendo coordenada a coordenada isso dá as equações paramétricas:
x=\dfrac{5}{9}+10t, \qquad y=-\dfrac{1}{9}+7t, \qquad z=-9t.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): ao substituir x,y,z das paramétricas nas equações dos planos ambas ficam identicamente verdadeiras para todo t (pode-se checar substituindo e simplificando), o que confirma que a reta está correta.

Resposta

x=\dfrac{5}{9}+10t
y=-\dfrac{1}{9}+7t
z=-9t

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