Esboce no plano cartesiano a região delimitada pelas retas dadas e determine a área da figura geométrica formada:
y=x, y=-x e y=4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) esboçar no plano cartesiano a região delimitada pelas retas dadas e (2) determinar a área da figura formada. As retas fornecidas são:
  • y=x
  • y=-x
  • y=4

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas, resolvendo pares de equações.
Interseção de y=x com y=-x. Igualando:
x = -x \quad\Rightarrow\quad 2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,
portanto y=0 e o ponto é (0,0).

Passo 3

Interseção de y=x com y=4. Igualando:
x = 4 \quad\Rightarrow\quad x=4,
logo o ponto é (4,4).

Passo 4

Interseção de y=-x com y=4. Igualando:
-x = 4 \quad\Rightarrow\quad x=-4,
logo o ponto é (-4,4).

Passo 5

Com os três pontos de interseção obtidos — (0,0), (4,4) e (-4,4) — a região delimitada pelas retas é o triângulo que tem esses vértices. Para esboçar: desenhar os eixos, traçar a reta y=x (diagonal a 45^\circ passando pela origem), a reta y=-x (diagonal oposta), e a reta horizontal y=4. A interseção da horizontal com as duas diagonais dá os vértices em (-4,4) e (4,4); a ponta do V está em (0,0).

Passo 6

Agora vamos calcular a área do triângulo. Identificamos como base do triângulo o segmento entre (-4,4) e (4,4), que é horizontal. O comprimento da base é a diferença entre as coordenadas x:
\text{base} = |4-(-4)| = |8| = 8.

Passo 7

A altura do triângulo é a distância vertical entre a reta y=4 (onde está a base) e o vértice em y=0:
\text{altura} = 4 - 0 = 4.

Passo 8

Usamos a fórmula da área de um triângulo:
\text{Área} = \frac{1}{2}\times \text{base}\times \text{altura}.Á
Substituindo os valores:
\text{Área} = \frac{1}{2}\times 8 \times 4 = 16.Á

Passo 9

Confirmação alternativa (didática): calcular a área integrando em y. Para cada y entre 0 e 4 a abscissa direita é x=y e a esquerda é x=-y, então a largura é 2y. Assim
\text{Área} = \int_{y=0}^{4} 2y\,dy = \bigl[y^{2}\bigr]_{0}^{4} = 16,Á
coincidindo com o resultado anterior.

Resposta

Triângulo com vértices (-4,4),\\ (4,4),\\ (0,0).
\;16

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