Identifique e esboce os seguintes arcos.
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar o arco dado pelo parâmetro
Informações dadas:
- A forma paramétrica complexa
fornece parte real e parte imaginária em função de . - O parâmetro
varia por todos os reais, .
O que se quer: (i) reconhecer a curva geométrica no plano complexo (planocom e ); (ii) descrever como ela é traçada (orientação) e dar elementos que permitam esboçá-la.
Passo 2
Separe as partes real e imaginária para passar ao plano cartesiano. Defina
Pela expressão de
temos
Passo 3
Elimine o parâmetro
para obter a equação cartesiana da curva. Da primeira equação segue
Substituindo na segunda:
Portanto a curva é dada pela equação cartesiana
Passo 4
Interprete geometricamente a equação encontrada. A equação
descreve:
- Uma parábola com vértice na origem
. - Eixo da parábola alinhado ao eixo
(ou seja, simétrica em relação ao eixo imaginário). - Abre para cima (valores de
são não negativos: ).
Passo 5
Analise a orientação (sentido de percurso) conforme
varia. Use
para ver como
muda com
:
- Quando
aumenta, aumenta linearmente (porque ). Logo o parâmetro percorre a parábola da esquerda para a direita.
Descrevendo com mais detalhe: - Para
a curva está muito à esquerda e com grande (pontos alto à esquerda). - À medida que
aumenta até , o ponto se aproxima do vértice vindo por cima da esquerda. - Em
passamos pelo vértice . - Para
a curva vai para a direita e sobe (segmento acima da direita).
Assim a orientação é: vêm de(com ), passam pelo vértice na origem quando e seguem para (com ).
Passo 6
Calcule o vetor tangente e a inclinação para ajudar no esboço. Derivando:
Em coordenadas reais, a velocidade é
. A inclinação da tangente é
Em termos de
(substituindo
):
Observações úteis:
- No vértice
tem-se , logo tangente horizontal na origem. - Para
a tangente aponta ligeiramente para baixo (mas como isso significa que vindo de cima à esquerda a curva desce até o vértice).
Passo 7
Determine alguns pontos concretos para facilitar o desenho (pegue os valores do parâmetro):
Esses pontos mostram a largura da parábola (abertura) e a simetria: pontos com
e
têm a mesma
e
simétrico.
Passo 8
Instruções para esboçar (passo a passo prático para a prova):
- Faça um sistema de eixos com eixo real (horizontal) e eixo imaginário (vertical).
- Marque o vértice
. - Plote os pontos listados em passo anterior:
. - Una esses pontos por uma curva suave em forma de U (parábola) simétrica em relação ao eixo vertical.
- Indique uma seta seguindo da esquerda para a direita ao longo da parábola (orientação conforme
cresce). - Marque a tangente horizontal no vértice para reforçar a forma.
Passo 9
Resumo didático rápido (para decorar): a curva paramétrica
é apenas a parábola real-imaginária
traçada com
; o vértice é na origem, abre para cima, e é percorrida da esquerda para a direita quando
aumenta.
Resposta
A curva é a parábola
no plano complexo (com
), vértice em
, simétrica em relação ao eixo imaginário, toda com
; é percorrida da esquerda para a direita quando
aumenta (passa por
em
).