Identifique e esboce os seguintes arcos.
z=3 t+i t^{2}, t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar o arco dado pelo parâmetro
z(t)=3t+i t^{2},\qquad t\in\mathbb{R}.
Informações dadas:
  • A forma paramétrica complexa z(t) fornece parte real e parte imaginária em função de t.
  • O parâmetro t varia por todos os reais, t\in\mathbb{R}.
    O que se quer: (i) reconhecer a curva geométrica no plano complexo (plano (x,y) com x=\Re z e y=\Im z); (ii) descrever como ela é traçada (orientação) e dar elementos que permitam esboçá-la.

Passo 2

Separe as partes real e imaginária para passar ao plano cartesiano. Defina
x(t)=\Re z(t),\qquad y(t)=\Im z(t).
Pela expressão de z(t) temos
x(t)=3t,\qquad y(t)=t^{2}.

Passo 3

Elimine o parâmetro t para obter a equação cartesiana da curva. Da primeira equação segue
t=\frac{x}{3}.
Substituindo na segunda:
y=\left(\frac{x}{3}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{9}.
Portanto a curva é dada pela equação cartesiana
y=\frac{x^{2}}{9}.

Passo 4

Interprete geometricamente a equação encontrada. A equação y=\dfrac{x^{2}}{9} descreve:
  • Uma parábola com vértice na origem (0,0).
  • Eixo da parábola alinhado ao eixo y (ou seja, simétrica em relação ao eixo imaginário).
  • Abre para cima (valores de y são não negativos: y\ge 0).

Passo 5

Analise a orientação (sentido de percurso) conforme t varia. Use x(t)=3t para ver como x muda com t:
  • Quando t aumenta, x aumenta linearmente (porque dx/dt=3>0). Logo o parâmetro percorre a parábola da esquerda para a direita.
    Descrevendo com mais detalhe:
  • Para t\to -\infty a curva está muito à esquerda e com y grande (pontos alto à esquerda).
  • À medida que t aumenta até 0, o ponto se aproxima do vértice (0,0) vindo por cima da esquerda.
  • Em t=0 passamos pelo vértice (0,0).
  • Para t>0 a curva vai para a direita e sobe (segmento acima da direita).
    Assim a orientação é: vêm de x=-\infty (com y\to+\infty), passam pelo vértice na origem quando t=0 e seguem para x=+\infty (com y\to+\infty).

Passo 6

Calcule o vetor tangente e a inclinação para ajudar no esboço. Derivando:
\frac{dz}{dt}=3+i\,2t.
Em coordenadas reais, a velocidade é (dx/dt,dy/dt)=(3,2t). A inclinação da tangente é
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t}{3}.
Em termos de x (substituindo t=x/3):
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}\,t=\frac{2}{3}\cdot\frac{x}{3}=\frac{2x}{9}.
Observações úteis:
  • No vértice t=0 tem-se \dfrac{dy}{dx}=0, logo tangente horizontal na origem.
  • Para x<0 a tangente aponta ligeiramente para baixo (mas como y\ge0 isso significa que vindo de cima à esquerda a curva desce até o vértice).

Passo 7

Determine alguns pontos concretos para facilitar o desenho (pegue os valores do parâmetro):
\begin{aligned} &t=-3\Rightarrow (x,y)=(-9,9),\\\ &t=-1\Rightarrow (x,y)=(-3,1),\\\ &t=0\Rightarrow (x,y)=(0,0),\\\ &t=1\Rightarrow (x,y)=(3,1),\\\ &t=3\Rightarrow (x,y)=(9,9). \end{aligned}
Esses pontos mostram a largura da parábola (abertura) e a simetria: pontos com t e -t têm a mesma y e x simétrico.

Passo 8

Instruções para esboçar (passo a passo prático para a prova):
  • Faça um sistema de eixos com eixo real (horizontal) e eixo imaginário (vertical).
  • Marque o vértice (0,0).
  • Plote os pontos listados em passo anterior: (-9,9),(-3,1),(0,0),(3,1),(9,9).
  • Una esses pontos por uma curva suave em forma de U (parábola) simétrica em relação ao eixo vertical.
  • Indique uma seta seguindo da esquerda para a direita ao longo da parábola (orientação conforme t cresce).
  • Marque a tangente horizontal no vértice para reforçar a forma.

Passo 9

Resumo didático rápido (para decorar): a curva paramétrica z(t)=3t+i t^{2} é apenas a parábola real-imaginária y=x^{2}/9 traçada com t=x/3; o vértice é na origem, abre para cima, e é percorrida da esquerda para a direita quando t aumenta.

Resposta

A curva é a parábola \;y=\dfrac{x^{2}}{9}\; no plano complexo (com x=\Re z,\;y=\Im z), vértice em (0,0), simétrica em relação ao eixo imaginário, toda com y\ge0; é percorrida da esquerda para a direita quando t aumenta (passa por (0,0) em t=0).

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