Use a aplicação do teorema de Green que permite achar a área encerrada por uma curva fechada G, no plano x y, para:
do setor hiperbólico definido pelos pontos A(0,0), B(R, 0) & Q\left(x_{0}, y_{0}\right), encontrando-se Q na hipérbole x^{2}-y^{2}=R^{2}, no primeiro quadrante, vem dada por
sugestão:
A=\frac{R^{2}}{2} \ln \left(\frac{x_{0}}{R}+\sqrt{\frac{x_{0}^{2}-1}{R^{2}}}\right)
Use a parametrização x=R \operatorname{cosh} (t), y=R \operatorname{senh}(t), para o arco B Q.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se a área do setor hiperbólico fechado pela curva G formada pelos pontos A(0,0), B(R,0) e Q(x_0,y_0), onde Q está no ramo da hipérbole \,x^{2}-y^{2}=R^{2}\, no primeiro quadrante.
  • Informação importante dada:
    • O ponto A é a origem: (0,0).
    • O ponto B é (R,0).
    • O ponto Q satisfaz \,x_{0}^{2}-y_{0}^{2}=R^{2}\, e está no primeiro quadrante (logo x_{0}\ge R e y_{0}\ge0).
    • Para o arco BQ foi sugerida a parametrização x=R\operatorname{cosh} t,\qquad y=R\operatorname{sinh} t,com t variando de 0 (em B) até algum t_{0} tal que x_{0}=R\operatorname{cosh} t_{0} e y_{0}=R\operatorname{sinh} t_{0}.
  • Objetivo final explicado de forma clara: calcular a área A da região limitada por (1) o segmento AB sobre o eixo x, (2) o arco hiperbólico BQ e (3) o segmento QA que volta ao origem.

Passo 2

Escolha da fórmula para área (teorema de Green) e orientação do contorno.
  • Usamos a fórmula de área dada pelo teorema de Green (fórmula de linha para área): para uma curva fechada G orientada positivamente (sentido anti-horário), \text{Área}=\frac{1}{2}\oint_{G}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).ÁAqui cada símbolo significa:
    • x e y : coordenadas do ponto sobre a curva;
    • dx e dy : diferenciais ao percorrer a curva;
    • a integral de linha \oint_{G} percorre todo o contorno G no sentido anti-horário.
  • Escolhemos percorrer G na ordem: A(0,0) \to B(R,0) (segmento sobre o eixo x), depois B\to Q (arco da hipérbole parametrizado por t de 0 a t_{0}), e finalmente Q\to A (segmento reto de Q até a origem). Esse percurso é anti-horário, fechando a região pedida.
  • Denotamos a contribuição da integral em cada trecho por I_{1} (segmento AB), I_{2} (arco BQ) e I_{3} (segmento QA). Então \text{Área}=\frac{1}{2}\bigl(I_{1}+I_{2}+I_{3}\bigr).Á

Passo 3

Cálculo da contribuição do segmento AB (eixo x).
  • No segmento AB temos y=0. Podemos parametrizar por x indo de 0 a R, com y(x)=0. Assim dy=0 e dx é o diferencial em x.
  • O integrando é x\,dy - y\,dx = x\cdot 0 - 0\cdot dx = 0.
  • Portanto I_{1}=\int_{AB}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr)=0.

Passo 4

Cálculo da contribuição do arco hiperbólico BQ usando a parametrização dada.
  • Parametrização do arco: para t variando de 0 até t_{0}, x(t)=R\operatorname{cosh} t,\qquad y(t)=R\operatorname{sinh} t.As derivadas são dx=R\operatorname{sinh} t\,dt,\qquad dy=R\operatorname{cosh} t\,dt.
  • Substituindo no integrando: x\,dy - y\,dx =\bigl(R\operatorname{cosh} t\bigr)\bigl(R\operatorname{cosh} t\,dt\bigr)-\bigl(R\operatorname{sinh} t\bigr)\bigl(R\operatorname{sinh} t\,dt\bigr).
  • Factorizando R^{2}\,dt: x\,dy - y\,dx = R^{2}\bigl(\operatorname{cosh}^{2}t - \operatorname{sinh}^{2}t\bigr)\,dt.
  • Usamos a identidade hiperbólica fundamental \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1. Então o integrando simplifica fortemente: x\,dy - y\,dx = R^{2}\,dt.
  • Integramos de t=0 até t=t_{0}: I_{2}=\int_{0}^{t_{0}}R^{2}\,dt = R^{2}t_{0}.

Passo 5

Cálculo da contribuição do segmento QA (reta de Q até a origem).
  • Parametrizamos o segmento de Q(x_{0},y_{0}) até A(0,0) por s\in[0,1]: x(s)=(1-s)x_{0},\qquad y(s)=(1-s)y_{0},onde s=0 Q e s=1 A.
  • Diferenciais: dx=-x_{0}\,ds, dy=-y_{0}\,ds.
  • O integrando é x\,dy - y\,dx = (1-s)x_{0}\cdot(-y_{0}\,ds) - (1-s)y_{0}\cdot(-x_{0}\,ds).Simplificando: x\,dy - y\,dx = - (1-s)x_{0}y_{0}\,ds + (1-s)y_{0}x_{0}\,ds = 0.
  • Portanto I_{3}=\int_{QA}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr)=0.

Passo 6

Juntando as contribuições e expressando t_{0} em termos de x_{0}.
  • Somando I_{1},I_{2},I_{3} obtemos \oint_{G}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr)=I_{1}+I_{2}+I_{3}=0+R^{2}t_{0}+0=R^{2}t_{0}.
  • Pela fórmula da área, \text{Área}=\frac{1}{2}R^{2}t_{0}.Á
  • Resta escrever t_{0} em função de x_{0}. Da parametrização temos \,x_{0}=R\operatorname{cosh} t_{0}\,, então \operatorname{cosh} t_{0}=\frac{x_{0}}{R}.Tomando a função inversa \operatorname{arcosh} (ou usando a identidade logarítmica de \operatorname{arcosh}), obtemos t_{0}=\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{x_{0}}{R}\right) =\ln\!\left(\frac{x_{0}}{R}+\sqrt{\left(\frac{x_{0}}{R}\right)^{2}-1}\right).Observação: como x_{0}\ge R, a quantidade dentro da raiz é não negativa.
  • Substituindo t_{0} na expressão da área: \text{Área}=\frac{R^{2}}{2}\,\ln\!\left(\frac{x_{0}}{R}+\sqrt{\left(\frac{x_{0}}{R}\right)^{2}-1}\right).Á
  • Pode-se também escrever a raiz de forma equivalente: \sqrt{\left(\frac{x_{0}}{R}\right)^{2}-1}=\frac{\sqrt{x_{0}^{2}-R^{2}}}{R},e então uma forma alternativa é \text{Área}=\frac{R^{2}}{2}\,\ln\!\left(\frac{x_{0}+\sqrt{x_{0}^{2}-R^{2}}}{R}\right).Á

Resposta

\boxed{\,\text{Área}=\frac{R^{2}}{2}\,\ln\!\left(\frac{x_{0}}{R}+\sqrt{\left(\frac{x_{0}}{R}\right)^{2}-1}\right) =\frac{R^{2}}{2}\,\ln\!\left(\frac{x_{0}+\sqrt{x_{0}^{2}-R^{2}}}{R}\right)\,}Á

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