Use a aplicação do teorema de Green que permite achar a área encerrada por uma curva fechada G, no plano x y, para:
do setor hiperbólico definido pelos pontos A(0,0), B(R, 0) & Q\left(x_{0}, y_{0}\right), encontrando-se Q na hipérbole x^{2}-y^{2}=R^{2}, no primeiro quadrante, vem dada por
sugestão:
Use a parametrização x=R \operatorname{cosh} (t), y=R \operatorname{senh}(t), para o arco B Q.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
Pede-se a área do setor hiperbólico fechado pela curva G formada pelos pontos A(0,0), B(R,0) e Q(x_0,y_0), onde Q está no ramo da hipérbole \,x^{2}-y^{2}=R^{2}\, no primeiro quadrante.
Informação importante dada:
O ponto A é a origem: (0,0).
O ponto B é (R,0).
O ponto Q satisfaz \,x_{0}^{2}-y_{0}^{2}=R^{2}\, e está no primeiro quadrante (logo x_{0}\ge R e y_{0}\ge0).
Para o arco BQ foi sugerida a parametrizaçãox=R\operatorname{cosh} t,\qquad y=R\operatorname{sinh} t,com t variando de 0 (em B) até algum t_{0} tal que x_{0}=R\operatorname{cosh} t_{0} e y_{0}=R\operatorname{sinh} t_{0}.
Objetivo final explicado de forma clara: calcular a área A da região limitada por (1) o segmento AB sobre o eixo x, (2) o arco hiperbólico BQ e (3) o segmento QA que volta ao origem.
Passo 2
Escolha da fórmula para área (teorema de Green) e orientação do contorno.
Usamos a fórmula de área dada pelo teorema de Green (fórmula de linha para área): para uma curva fechada G orientada positivamente (sentido anti-horário),\text{Área}=\frac{1}{2}\oint_{G}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).ÁAqui cada símbolo significa:
x e y : coordenadas do ponto sobre a curva;
dx e dy : diferenciais ao percorrer a curva;
a integral de linha \oint_{G} percorre todo o contorno G no sentido anti-horário.
Escolhemos percorrer G na ordem: A(0,0)\toB(R,0) (segmento sobre o eixo x), depois B\to Q (arco da hipérbole parametrizado por t de 0 a t_{0}), e finalmente Q\to A (segmento reto de Q até a origem). Esse percurso é anti-horário, fechando a região pedida.
Denotamos a contribuição da integral em cada trecho por I_{1} (segmento AB), I_{2} (arco BQ) e I_{3} (segmento QA). Então\text{Área}=\frac{1}{2}\bigl(I_{1}+I_{2}+I_{3}\bigr).Á
Passo 3
Cálculo da contribuição do segmento AB (eixo x).
No segmento AB temos y=0. Podemos parametrizar por x indo de 0 a R, com y(x)=0. Assim dy=0 e dx é o diferencial em x.
O integrando é x\,dy - y\,dx = x\cdot 0 - 0\cdot dx = 0.
Cálculo da contribuição do arco hiperbólico BQ usando a parametrização dada.
Parametrização do arco: para t variando de 0 até t_{0},x(t)=R\operatorname{cosh} t,\qquad y(t)=R\operatorname{sinh} t.As derivadas sãodx=R\operatorname{sinh} t\,dt,\qquad dy=R\operatorname{cosh} t\,dt.
Substituindo no integrando:x\,dy - y\,dx =\bigl(R\operatorname{cosh} t\bigr)\bigl(R\operatorname{cosh} t\,dt\bigr)-\bigl(R\operatorname{sinh} t\bigr)\bigl(R\operatorname{sinh} t\,dt\bigr).
Usamos a identidade hiperbólica fundamental \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1. Então o integrando simplifica fortemente:x\,dy - y\,dx = R^{2}\,dt.
Integramos de t=0 até t=t_{0}:I_{2}=\int_{0}^{t_{0}}R^{2}\,dt = R^{2}t_{0}.
Passo 5
Cálculo da contribuição do segmento QA (reta de Q até a origem).
Parametrizamos o segmento de Q(x_{0},y_{0}) até A(0,0) por s\in[0,1]:x(s)=(1-s)x_{0},\qquad y(s)=(1-s)y_{0},onde s=0 dá Q e s=1 dá A.
Pela fórmula da área,\text{Área}=\frac{1}{2}R^{2}t_{0}.Á
Resta escrever t_{0} em função de x_{0}. Da parametrização temos \,x_{0}=R\operatorname{cosh} t_{0}\,, então\operatorname{cosh} t_{0}=\frac{x_{0}}{R}.Tomando a função inversa \operatorname{arcosh} (ou usando a identidade logarítmica de \operatorname{arcosh}), obtemost_{0}=\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{x_{0}}{R}\right) =\ln\!\left(\frac{x_{0}}{R}+\sqrt{\left(\frac{x_{0}}{R}\right)^{2}-1}\right).Observação: como x_{0}\ge R, a quantidade dentro da raiz é não negativa.
Substituindo t_{0} na expressão da área:\text{Área}=\frac{R^{2}}{2}\,\ln\!\left(\frac{x_{0}}{R}+\sqrt{\left(\frac{x_{0}}{R}\right)^{2}-1}\right).Á
Pode-se também escrever a raiz de forma equivalente:\sqrt{\left(\frac{x_{0}}{R}\right)^{2}-1}=\frac{\sqrt{x_{0}^{2}-R^{2}}}{R},e então uma forma alternativa é\text{Área}=\frac{R^{2}}{2}\,\ln\!\left(\frac{x_{0}+\sqrt{x_{0}^{2}-R^{2}}}{R}\right).Á