Use a aplicação do teorema de Green que permite achar a área encerrada por uma curva fechada
, no plano
, para:
Provar que a área entre os ângulos
e
, vem dada por
; encerrada pela hipociclóide
Provar que a área entre os ângulos
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Provar que, para uma curva dada em coordenadas polares pela função
, a área da região limitada pela curva e pelos raios que saem da origem com ângulos e (com ) é
- Aplicar esse resultado à curva dada pela equação
(esta curva é a astroide / hipociclóide particular) e escrever a expressão da área entre dois ângulos quaisquer
e
.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
- A técnica a usar é uma aplicação do Teorema de Green para calcular área por uma integral de linha do tipo
. - A curva da astroide está dada implicitamente em coordenadas cartesiana
; será preciso passar para coordenadas polares para aplicar a fórmula desejada.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Green (forma adequada para área).
- Seja
uma região do plano com fronteira simples, fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário). Se é essa fronteira, então uma forma conveniente para a área de é
Vou explicar o que significam cada símbolo:
-
e são as coordenadas cartesianas de um ponto da fronteira . -
e representam os diferenciais (ou as derivadas ao parametrizar a curva). - A integral
é a integral de linha ao longo de toda a curva , no sentido anti-horário.
Essa fórmula é uma forma prática do Teorema de Green (vem de escolher campos vetoriais apropriados e aplicarcom , ).
Passo 3
Parametrização da fronteira em coordenadas polares e significado de
.
- Em coordenadas polares um ponto é
, onde: -
é a distância do ponto ao origem como função do ângulo ; -
é o ângulo polar.
-
- A fronteira que queremos seguir é a curva
dada por quando varre de a . Além dessa curva, a região entre os raios e é fechada pelos próprios raios que ligam a origem aos pontos da curva nesses ângulos. Vou usar essa parametrização para calcular a integral de linha.
Passo 4
Calcular
e
em função de
e
.
- Escrevemos
- Derivando em relação a
(denotando ):
Aqui cada termo foi obtido usando a regra do produto: por exemplo
.]
Passo 5
Calcular o integrando
e simplificar.
- Substituindo
, , e acima:
- Expandindo os produtos (vou escrever cada termo):
- Observe que os termos com
se cancelam (um é positivo e o outro negativo). Somando os restantes:
pois
. Portanto, ao longo da curva polar parametrizada por
,
Passo 6
Verificar a contribuição dos raios (segmentos radiais) e concluir a fórmula da área.
- A região entre a curva
e os raios , tem fronteira composta por três partes: - o arco da curva
parametrizado por indo de até (sentido anti-horário); - o segmento radial do ponto da curva em
até a origem (parametrizado por decrescendo de até com fixo em ); - o segmento radial da origem até o ponto da curva em
(parametrizado por crescendo de até com fixo em ).
- o arco da curva
- Em qualquer segmento radial com
fixo e variando (ou seja ) temos
e portanto
Logo os dois segmentos radiais não contribuem para a integral
.
- Assim apenas o arco da curva contribui e, usando o resultado do Passo 5,
- Aplicando a fórmula do Teorema de Green para a área:
Isto prova a fórmula pedida.
Passo 7
Aplicação à hipociclóide / asteroide
.
- Para obter
escrevemos , e substituímos na equação da curva:
- Fatorando
:
(Aqui escrevi os valores absolutos
,
para cobrir quaisquer quadrantes; se
estiver restrito a um quadrante onde cos e sen são não-negativos, pode-se omitir as barras.)
- Isolando
obtemos
- Substituindo na fórmula da área do Passo 6:
Essa é a expressão explícita da área entre os raios
e
para a astroide dada.
Passo 8
Exemplo extra (cálculo da área total da asteroide) — para fixar e conferir o resultado clássico.
- Uma parametrização muito conveniente da asteroide é
- Usando a fórmula de Green para a área total
e parametrizando por , obtemos (passos rápidos):
- Portanto
- Usando a identidade
e integrando em resulta
logo
que é o valor clássico da área total da asteroide. Isto também serve como verificação numérica do integrando complicado da expressão polar.