Use a aplicação do teorema de Green que permite achar a área encerrada por uma curva fechada G, no plano x y, para:
Provar que a área entre os ângulos \theta_{1} e \theta_{2} \left(\theta_{1}<\theta_{2}\right), vem dada por A=\frac{1}{2} \int_{\theta}^{\theta_{2}} \rho^{2}(\theta) d \theta; encerrada pela hipociclóide x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} \quad(a>0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Provar que, para uma curva dada em coordenadas polares pela função \rho(\theta), a área da região limitada pela curva e pelos raios que saem da origem com ângulos \theta_{1} e \theta_{2} (com \theta_{1}<\theta_{2}) é
A=\tfrac{1}{2}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\rho^{2}(\theta)\,d\theta.
  • Aplicar esse resultado à curva dada pela equação
x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\qquad a>0,
(esta curva é a astroide / hipociclóide particular) e escrever a expressão da área entre dois ângulos quaisquer \theta_{1} e \theta_{2}.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
  • A técnica a usar é uma aplicação do Teorema de Green para calcular área por uma integral de linha do tipo \tfrac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).
  • A curva da astroide está dada implicitamente em coordenadas cartesiana x,y; será preciso passar para coordenadas polares (\rho,\theta) para aplicar a fórmula desejada.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Green (forma adequada para área).
  • Seja D uma região do plano com fronteira simples, fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário). Se C=\partial D é essa fronteira, então uma forma conveniente para a área de D é
\text{Área}(D)=\tfrac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).Á
Vou explicar o que significam cada símbolo:
  • x e y são as coordenadas cartesianas de um ponto da fronteira C.
  • dx e dy representam os diferenciais (ou as derivadas ao parametrizar a curva).
  • A integral \oint_C é a integral de linha ao longo de toda a curva C, no sentido anti-horário.
    Essa fórmula é uma forma prática do Teorema de Green (vem de escolher campos vetoriais apropriados e aplicar \iint_D (\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y)\,dA com P=-y/2, Q=x/2).

Passo 3

Parametrização da fronteira em coordenadas polares e significado de \rho(\theta).
  • Em coordenadas polares um ponto é (x,y)=(\rho\cos\theta,\\ \rho\sin\theta), onde:
    • \rho=\rho(\theta) é a distância do ponto ao origem como função do ângulo \theta;
    • \theta é o ângulo polar.
  • A fronteira que queremos seguir é a curva C dada por \rho=\rho(\theta) quando \theta varre de \theta_{1} a \theta_{2}. Além dessa curva, a região entre os raios \theta=\theta_{1} e \theta=\theta_{2} é fechada pelos próprios raios que ligam a origem aos pontos da curva nesses ângulos. Vou usar essa parametrização para calcular a integral de linha.

Passo 4

Calcular dx e dy em função de \theta e \rho(\theta).
  • Escrevemos
x(\theta)=\rho(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=\rho(\theta)\sin\theta.
  • Derivando em relação a \theta (denotando \rho'(\theta)=\dfrac{d\rho}{d\theta}):
\begin{aligned} dx &= d\bigl(\rho\cos\theta\bigr) = \bigl(\rho'\cos\theta - \rho\sin\theta\bigr)\,d\theta,\\[4pt] dy &= d\bigl(\rho\sin\theta\bigr) = \bigl(\rho'\sin\theta + \rho\cos\theta\bigr)\,d\theta. \end{aligned}
Aqui cada termo foi obtido usando a regra do produto: por exemplo \dfrac{d}{d\theta}(\rho\cos\theta)=\rho'\cos\theta+\rho(-\sin\theta).]

Passo 5

Calcular o integrando x\,dy - y\,dx e simplificar.
  • Substituindo x=\rho\cos\theta, y=\rho\sin\theta, dx e dy acima:
\begin{aligned} x\,dy - y\,dx &= \rho\cos\theta\cdot\bigl(\rho'\sin\theta + \rho\cos\theta\bigr)\,d\theta - \rho\sin\theta\cdot\bigl(\rho'\cos\theta - \rho\sin\theta\bigr)\,d\theta. \end{aligned}
  • Expandindo os produtos (vou escrever cada termo):
\begin{aligned} x\,dy - y\,dx &= \bigl(\rho\rho'\cos\theta\sin\theta + \rho^{2}\cos^{2}\theta\bigr)\,d\theta\\[4pt] &\quad - \bigl(\rho\rho'\sin\theta\cos\theta - \rho^{2}\sin^{2}\theta\bigr)\,d\theta. \end{aligned}
  • Observe que os termos com \rho\rho'\cos\theta\sin\theta se cancelam (um é positivo e o outro negativo). Somando os restantes:
x\,dy - y\,dx = \bigl(\rho^{2}\cos^{2}\theta + \rho^{2}\sin^{2}\theta\bigr)\,d\theta = \rho^{2}(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta)\,d\theta = \rho^{2}\,d\theta,
pois \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Portanto, ao longo da curva polar parametrizada por \theta,
x\,dy - y\,dx = \rho^{2}(\theta)\,d\theta.]

Passo 6

Verificar a contribuição dos raios (segmentos radiais) e concluir a fórmula da área.
  • A região entre a curva \rho=\rho(\theta) e os raios \theta=\theta_{1}, \theta=\theta_{2} tem fronteira composta por três partes:
    1. o arco da curva C parametrizado por \theta indo de \theta_{1} até \theta_{2} (sentido anti-horário);
    2. o segmento radial do ponto da curva em \theta_{2} até a origem (parametrizado por r decrescendo de \rho(\theta_{2}) até 0 com \theta fixo em \theta_{2});
    3. o segmento radial da origem até o ponto da curva em \theta_{1} (parametrizado por r crescendo de 0 até \rho(\theta_{1}) com \theta fixo em \theta_{1}).
  • Em qualquer segmento radial com \theta fixo e r variando (ou seja x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta) temos
dx=\cos\theta\,dr,\qquad dy=\sin\theta\,dr,
e portanto
x\,dy - y\,dx = (r\cos\theta)(\sin\theta\,dr) - (r\sin\theta)(\cos\theta\,dr)=0.
Logo os dois segmentos radiais não contribuem para a integral \oint_{C}(x\,dy - y\,dx).
  • Assim apenas o arco da curva contribui e, usando o resultado do Passo 5,
\oint_{C} (x\,dy - y\,dx) = \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \rho^{2}(\theta)\,d\theta.
  • Aplicando a fórmula do Teorema de Green para a área:
A=\tfrac{1}{2}\oint_{C} (x\,dy - y\,dx) = \tfrac{1}{2}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \rho^{2}(\theta)\,d\theta.
Isto prova a fórmula pedida.

Passo 7

Aplicação à hipociclóide / asteroide x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}.
  • Para obter \rho(\theta) escrevemos x=\rho\cos\theta, y=\rho\sin\theta e substituímos na equação da curva:
(\rho\cos\theta)^{\frac{2}{3}} + (\rho\sin\theta)^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}.
  • Fatorando \rho^{2/3}:
\rho^{\frac{2}{3}}\bigl(|\cos\theta|^{\frac{2}{3}} + |\sin\theta|^{\frac{2}{3}}\bigr) = a^{\frac{2}{3}}.
(Aqui escrevi os valores absolutos |\cos\theta|, |\sin\theta| para cobrir quaisquer quadrantes; se \theta estiver restrito a um quadrante onde cos e sen são não-negativos, pode-se omitir as barras.)
  • Isolando \rho obtemos
\rho(\theta) = a\bigl(|\cos\theta|^{\tfrac{2}{3}} + |\sin\theta|^{\tfrac{2}{3}}\bigr)^{-\tfrac{3}{2}}.
  • Substituindo na fórmula da área do Passo 6:
A=\tfrac{1}{2}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \rho^{2}(\theta)\,d\theta = \tfrac{a^{2}}{2}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\bigl(|\cos\theta|^{\tfrac{2}{3}} + |\sin\theta|^{\tfrac{2}{3}}\bigr)^{-3}\,d\theta.
Essa é a expressão explícita da área entre os raios \theta_{1} e \theta_{2} para a astroide dada.

Passo 8

Exemplo extra (cálculo da área total da asteroide) — para fixar e conferir o resultado clássico.
  • Uma parametrização muito conveniente da asteroide é
x(t)=a\cos^{3}t,\qquad y(t)=a\sin^{3}t,\qquad t\in[0,2\pi].
  • Usando a fórmula de Green para a área total A=\tfrac{1}{2}\oint(x\,dy-y\,dx) e parametrizando por t, obtemos (passos rápidos):
x'(t) = -3a\cos^{2}t\sin t,\qquad y'(t)=3a\sin^{2}t\cos t,
x\,y' - y\,x' = 3a^{2}\cos^{2}t\sin^{2}t.
  • Portanto
A=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 3a^{2}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt = \tfrac{3a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt.
  • Usando a identidade \cos^{2}t\sin^{2}t=\tfrac{1}{8}(1-\cos 4t) e integrando em [0,2\pi] resulta
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt=\frac{\pi}{4},
logo
A=\tfrac{3a^{2}}{2}\cdot\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi a^{2}}{8},
que é o valor clássico da área total da asteroide. Isto também serve como verificação numérica do integrando complicado da expressão polar.

Resposta

A=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\rho^{2}(\theta)\,d\theta.
\displaystyle A=\dfrac{a^{2}}{2}\displaystyle\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\bigl(|\cos\theta|^{\tfrac{2}{3}}+|\sin\theta|^{\tfrac{2}{3}}\bigr)^{-3}\,d\theta (para a curva x^{\tfrac{2}{3}}+y^{\tfrac{2}{3}}=a^{\tfrac{2}{3}}).

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