Identifique e esboce os seguintes arcos.
z=r(\cos t+i \operatorname{sen} t),-\frac{\pi}{4} \leq t \leq \pi, r>0 fixado.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização complexa
z=r\big(\cos t+i\operatorname{sen} t\big),\qquad -\frac{\pi}{4}\le t\le\pi,
com r>0 fixado, e pede para identificar e esboçar o arco correspondente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável de parametrização é t e varia no intervalo \left[-\tfrac{\pi}{4},\pi\right].
  • O parâmetro r é a mesma constante positiva para todo o arco.
  • É necessário indicar quais pontos são os extremos do arco, sua posição no plano complexo, sua orientação (sentido de percurso) e como desenhá-lo.

Passo 2

Interpretando a parametrização em coordenadas reais: escrevendo z=x+iy, temos
x=r\cos t,\qquad y=r\operatorname{sen} t.
Isso significa que cada t dá um ponto (x,y) no plano com essas coordenadas. Aqui \cos t e \operatorname{sen} t são as funções trigonométricas usuais que indicam as coordenadas de um ponto na circunferência unitária correspondente ao ângulo t. Em termos práticos, à medida que t varia, o ponto descrito por z percorre uma circunferência de raio r.

Passo 3

Mostrar que é realmente uma circunferência: usando \cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t=1,
x^2+y^2=(r\cos t)^2+(r\operatorname{sen} t)^2=r^2(\cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t)=r^2.
Logo todos os pontos satisfazem a equação
x^2+y^2=r^2,
que é a circunferência centrada na origem com raio r. Portanto o conjunto de pontos descritos por z é um arco dessa circunferência, delimitado pelos valores extremos de t.

Passo 4

Encontrar os pontos extremos e pontos notáveis (pegando valores de t no intervalo):
  • Para t=-\dfrac{\pi}{4}:
z\Big|_{t=-\pi/4}=r\Big(\cos\big(-\tfrac{\pi}{4}\big)+i\operatorname{sen}\big(-\tfrac{\pi}{4}\big)\Big) = r\Big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big).
Isso é um ponto no quarto quadrante, na direção de -45^\circ.
  • Para t=0:
z\Big|_{t=0}=r(\cos 0+i\operatorname{sen}0)=r(1+ i\cdot 0)=r.
Ponto no eixo real positivo.
  • Para t=\dfrac{\pi}{2}:
z\Big|_{t=\pi/2}=r(0+i\cdot 1)=ir.
Ponto no eixo imaginário positivo.
  • Para t=\pi:
z\Big|_{t=\pi}=r(\cos\pi+i\operatorname{sen}\pi)=r(-1+ i\cdot 0)=-r.
Ponto no eixo real negativo (extremo final do arco).

Passo 5

Orientação do arco: como t aumenta no intervalo \left[-\tfrac{\pi}{4},\pi\right], o ângulo polar cresce, portanto o arco é percorrido no sentido anti-horário (sentido trigonométrico positivo). Assim o arco começa no ponto r\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) (ângulo -\tfrac{\pi}{4}), passa por r (ângulo 0), sobe pelo semicírculo superior ( t>0) e termina em -r (ângulo \pi).

Passo 6

Quais quadrantes e porção da circunferência estão envolvidos: o arco começa no quarto quadrante ( t=-\tfrac{\pi}{4}), cruza o eixo real positivo em t=0, percorre o primeiro quadrante e o segundo quadrante, e termina no eixo real negativo em t=\pi. Em resumo, cobre os pontos da circunferência com ângulo polar t entre -\tfrac{\pi}{4} e \pi.

Passo 7

Comprimento do arco (opcional, mas útil para entender a magnitude): o comprimento de um arco de circunferência é o raio multiplicado pela amplitude angular (em radianos). Aqui a amplitude angular é
\Delta t=\pi-\Big(-\frac{\pi}{4}\Big)=\frac{5\pi}{4}.
Portanto o comprimento do arco é
\text{comprimento}=r\cdot\Delta t=r\cdot\frac{5\pi}{4}=\frac{5\pi r}{4}.

Passo 8

Como esboçar (instrução prática passo a passo para desenhar no papel):
  1. Desenhar um círculo de raio r com centro na origem. Marcar o eixo real (horizontal) e o eixo imaginário (vertical).
  2. Marcar o ponto inicial correspondente a t=-\tfrac{\pi}{4}: coordenadas \big(r\tfrac{\sqrt{2}}{2},-r\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) no quarto quadrante.
  3. Marcar os pontos notáveis r (à direita), ir (para cima) e -r (à esquerda).
  4. Traçar a porção da circunferência que vai do ponto em -\tfrac{\pi}{4} no sentido anti-horário até o ponto em \pi. Colocar uma seta indicando o sentido anti-horário.
  5. Se quiser, rotular os ângulos -\tfrac{\pi}{4}, 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi ao longo do círculo para clareza.

Resposta

Arco da circunferência centrada na origem de raio r, correspondente aos ângulos polares t\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\pi\right]; pontos extremos r\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) e -r; orientação anti-horária; comprimento \dfrac{5\pi r}{4}.

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