com r>0 fixado, e pede para identificar e esboçar o arco correspondente.
Informações relevantes fornecidas:
A variável de parametrização é t e varia no intervalo \left[-\tfrac{\pi}{4},\pi\right].
O parâmetro r é a mesma constante positiva para todo o arco.
É necessário indicar quais pontos são os extremos do arco, sua posição no plano complexo, sua orientação (sentido de percurso) e como desenhá-lo.
Passo 2
Interpretando a parametrização em coordenadas reais: escrevendo z=x+iy, temos
x=r\cos t,\qquad y=r\operatorname{sen} t.
Isso significa que cada t dá um ponto (x,y) no plano com essas coordenadas. Aqui \cos t e \operatorname{sen} t são as funções trigonométricas usuais que indicam as coordenadas de um ponto na circunferência unitária correspondente ao ângulo t. Em termos práticos, à medida que t varia, o ponto descrito por z percorre uma circunferência de raio r.
Passo 3
Mostrar que é realmente uma circunferência: usando \cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t=1,
que é a circunferência centrada na origem com raio r. Portanto o conjunto de pontos descritos por z é um arco dessa circunferência, delimitado pelos valores extremos de t.
Passo 4
Encontrar os pontos extremos e pontos notáveis (pegando valores de t no intervalo):
Ponto no eixo real negativo (extremo final do arco).
Passo 5
Orientação do arco: como t aumenta no intervalo \left[-\tfrac{\pi}{4},\pi\right], o ângulo polar cresce, portanto o arco é percorrido no sentido anti-horário (sentido trigonométrico positivo). Assim o arco começa no ponto r\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) (ângulo -\tfrac{\pi}{4}), passa por r (ângulo 0), sobe pelo semicírculo superior (t>0) e termina em -r (ângulo \pi).
Passo 6
Quais quadrantes e porção da circunferência estão envolvidos: o arco começa no quarto quadrante (t=-\tfrac{\pi}{4}), cruza o eixo real positivo em t=0, percorre o primeiro quadrante e o segundo quadrante, e termina no eixo real negativo em t=\pi. Em resumo, cobre os pontos da circunferência com ângulo polar t entre -\tfrac{\pi}{4} e \pi.
Passo 7
Comprimento do arco (opcional, mas útil para entender a magnitude): o comprimento de um arco de circunferência é o raio multiplicado pela amplitude angular (em radianos). Aqui a amplitude angular é
Como esboçar (instrução prática passo a passo para desenhar no papel):
Desenhar um círculo de raio r com centro na origem. Marcar o eixo real (horizontal) e o eixo imaginário (vertical).
Marcar o ponto inicial correspondente a t=-\tfrac{\pi}{4}: coordenadas \big(r\tfrac{\sqrt{2}}{2},-r\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) no quarto quadrante.
Marcar os pontos notáveis r (à direita), ir (para cima) e -r (à esquerda).
Traçar a porção da circunferência que vai do ponto em -\tfrac{\pi}{4} no sentido anti-horário até o ponto em \pi. Colocar uma seta indicando o sentido anti-horário.
Se quiser, rotular os ângulos -\tfrac{\pi}{4}, 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi ao longo do círculo para clareza.
Resposta
Arco da circunferência centrada na origem de raio r, correspondente aos ângulos polares t\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\pi\right]; pontos extremos r\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) e -r; orientação anti-horária; comprimento \dfrac{5\pi r}{4}.