Identifique e esboce a superfíce quádrica.
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádricas dada por
Este é um problema sobre identificação de superfícies quádricas, e vamos precisar escrever a equação em forma padrão e analisar os sinais dos termos para reconhecer o tipo de superfície.
Passo 2
Começamos dividindo a equação por 36 para obter a forma canônica. Assim temos
ou seja
Passo 3
Observando a forma padrão
, vemos que há um termo positivo e dois termos negativos. Isso caracteriza um hiperboloide de duas folhas. A variável com coeficiente positivo (aqui
) é a direção do eixo principal dessa superfície.
Passo 4
Para entender a geometria, analisamos cortes principais:
- Para um plano
com , a seção é a elipse . - Para
, não há pontos reais (seção imaginária), de modo que a superfície está ausente nesses planos. - Para planos
ou fixos, obtemos hipérboles, mostrando a curvatura em sentido secundário.
Passo 5
Esboço: a superfície consiste em duas folhas disjuntas voltadas para as direções
e
. Cada folha começa em
ou
e se abre elipticamente à medida que
cresce. No plano
, por exemplo, temos a elipse
.
Resposta
A superfície é um hiperboloide de duas folhas, com eixo principal ao longo do eixo
, cujas duas partes estão em
e
.