Identifique e esboce a cônica.
(x-2)^216+(y+5)^225=1.

Passo 1

Temos a equação da cônica em questão:
(x-2)^216 + (y+5)^225 = 1

Passo 2

Isso já está na forma padrão de uma elipse alinhada aos eixos, ou seja,
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1,
onde o centro é (h,k), e a e b são os semi-eixos.

Passo 3

Comparando os dois formatos, vemos que h = 2, k = -5, a^2 = 16 e b^2 = 25. Logo,
a = 4, b = 5

Passo 4

Como b > a, o eixo maior é vertical. Para encontrar os focos, usamos a relação
c^2 = b^2 - a^2 = 25 - 16 = 9, portanto c = 3.

Passo 5

Os vértices ficam na direção do eixo maior, ou seja,
(h, k pm b) = (2, -5 pm 5) implies (2,0) e (2,-10)

Passo 6

Os co-vértices estão ao longo do eixo menor:
(h pm a, k) = (2 pm 4, -5) implies (6,-5) e (-2,-5)

Passo 7

Os focos são dados por
(h, k pm c) = (2, -5 pm 3) implies (2,-2) e (2,-8)

Passo 8

Para esboçar a elipse, basta: plotar o centro (2,-5), marcar vértices, co-vértices e focos, traçar os eixos e desenhar a forma oval passando pelos vértices, garantindo simetria.

Resposta

Elipse centralizada em (2,−5), com semi-eixo maior vertical de 5 e semi-eixo menor horizontal de 4. Vértices em (2,0) e (2,−10), co-vértices em (6,−5) e (−2,−5), focos em (2,−2) e (2,−8).

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