Identifique e esboce a superfície quádrica.
9 z^{2}-4 y^{2}-9 x^{2}=36

Passo 1

O enunciado dá a equação
9z^{2}-4y^{2}-9x^{2}=36
e pede que a gente identifique a superfície quádrica e faça um esboço (ou dê instruções claras de como esboçá‑la). As informações relevantes que temos:
  • A equação é quadrática nas variáveis x,y,z.
  • O lado direito é 36.
  • Não há termos lineares nem termos mistos xy,xz,yz.
    Não resolvemos nada ainda; só listei o que o problema fornece e o que é pedido.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão (dividir por 36) para ver os coeficientes relativos:
\frac{9z^{2}}{36}-\frac{4y^{2}}{36}-\frac{9x^{2}}{36}=1.
Simplificando os fatores:
\frac{z^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1.
Agora está numa forma com denominadores positivos e sinais explícitos, o que facilita a classificação.

Passo 3

Como classificar a quádrupla pelo sinal das parcelas: olhe os sinais em
\frac{z^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1.
Há um termo positivo ( \dfrac{z^{2}}{4}) e dois termos negativos ( -\dfrac{y^{2}}{9} e -\dfrac{x^{2}}{4}). Regra prática (útil na prova): se a equação reduzida tiver a forma
\text{(uma positiva)} - \text{(duas positivas)} = 1,
então é um hiperboloide de duas folhas, com o eixo principal ao longo da variável que aparece com sinal positivo. Portanto esta superfície é um hiperboloide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo z.

Passo 4

Entender onde a superfície existe (domínio em z). Reescrevendo para as secções horizontais ( z fixo):
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=\frac{z^{2}}{4}-1.
O lado direito precisa ser não‑negativo para existir solução real para x,y. Assim
\frac{z^{2}}{4}-1\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad z^{2}\ge 4 \quad\Longrightarrow\quad |z|\ge 2.
Conclusão importante para o esboço: não há pontos com -2<z<2. Há duas “folhas”: uma para z\ge 2 e outra para z\le -2. Nos planos z=\pm 2 a equação dá
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=0,
ou seja x=0 e y=0: cada folha começa num ponto em z=2 e z=-2, respectivamente.

Passo 5

Descrever as secções horizontais (para esboçar as fatias):
Fixando z=z_{0} com |z_{0}|\ge 2, a secção é a elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=\frac{z_{0}^{2}}{4}-1=\frac{z_{0}^{2}-4}{4}.
Colocando em forma padrão de elipse:
\frac{x^{2}}{z_{0}^{2}-4}+\frac{y^{2}}{\frac{9}{4}(z_{0}^{2}-4)}=1.
Os semi-eixos da elipse horizontal são
a_x=\sqrt{z_{0}^{2}-4}, \qquad a_y=\frac{3}{2}\sqrt{z_{0}^{2}-4}.
Exemplo numérico para ajudar no desenho: se z_{0}=3 então z_{0}^{2}-4=5, portanto
a_x=\sqrt{5}\approx 2,236,\qquad a_y=\tfrac{3}{2}\sqrt{5}\approx 3,354.
Ou seja, para z=3 a elipse tem eixo em x de comprimento \approx 4,472 e em y de comprimento \approx 6,708. À medida que |z| aumenta, as elipses alargam.

Passo 6

Estudar as secções verticais para entender a abertura das folhas:
  • Plano y=0: tem-se
\frac{z^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad z^{2}-x^{2}=4,
que é uma hipérbole no plano xz. As assíntotas dessa hipérbole (para grandes x,z) são z=\pm x.
  • Plano x=0: tem-se
\frac{z^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1,
que é uma hipérbole no plano yz com assíntotas z=\pm \tfrac{2}{3}y.
Essas hipérboles mostram a forma “em taça” de cada folha: para z grande, a superfície se aproxima das retas assíntotas formando um cone hiperbólico aproximado.

Passo 7

Propriedades de simetria e centro (úteis na hora de desenhar):
  • Centro da superfície: a origem (0,0,0) — mas lembrar: a superfície não passa pela origem; o centro é ponto de simetria.
  • Simetria: simétrica por rotação de 180° em torno de cada eixo coordenado e também simétrica em relação ao plano xy (as duas folhas são imagens uma da outra por reflexão z\mapsto -z).
  • Eixo principal: eixo z (as folhas estão centradas em torno de (0,0,\pm 2) quando começam).

Passo 8

Instruções práticas para esboçar (passo a passo, do jeito que dá para fazer à mão na prova):
  1. Marque o eixo z vertical no papel e os eixos x,y horizontais (ou x horizontal e y em perspectiva).
  2. Marque os pontos de início das folhas: (0,0,2) e (0,0,-2).
  3. Para alguns níveis z positivos (por exemplo z=3,\,4) desenhe elipses horizontais centradas no eixo z com semi-eixos a_x e a_y calculados acima. Faça o mesmo espelhando para z negativos.
  4. No plano y=0 desenhe a hipérbole z^{2}-x^{2}=4 e suas assíntotas z=\pm x para guiar a abertura.
  5. No plano x=0 desenhe a hipérbole z^{2}/4 - y^{2}/9 =1 e as assíntotas z=\pm \tfrac{2}{3}y.
  6. Una suavemente as elipses seguindo as hipérboles-guia: cada folha tem formato de “taça” ou “óculos separados” acima e abaixo do plano z=0, sem nada entre -2<z<2.
    Dica: comece com linhas suaves e leves; depois escureça a silhueta final de cada folha.

Passo 9

Resumo geométrico final (para fixar): a superfície é formada por duas componentes desconexas (folhas), uma acima de z=2 e outra abaixo de z=-2; cada folha tem secções horizontais elípticas que crescem com |z| e secções verticais hiperbólicas com assíntotas lineares.

Resposta

Hiperboloide de duas folhas, com eixo principal ao longo de z; as folhas existem para |z|\ge 2 e têm secções horizontais elípticas dadas por \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=\dfrac{z^{2}}{4}-1.

Exercícios relacionados