Identifique e esboce a superfície quádrica.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que a gente identifique a superfície quádrica e faça um esboço (ou dê instruções claras de como esboçá‑la). As informações relevantes que temos:
- A equação é quadrática nas variáveis
. - O lado direito é
. - Não há termos lineares nem termos mistos
.
Não resolvemos nada ainda; só listei o que o problema fornece e o que é pedido.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão (dividir por
) para ver os coeficientes relativos:
Simplificando os fatores:
Agora está numa forma com denominadores positivos e sinais explícitos, o que facilita a classificação.
Passo 3
Como classificar a quádrupla pelo sinal das parcelas: olhe os sinais em
Há um termo positivo (
) e dois termos negativos (
e
). Regra prática (útil na prova): se a equação reduzida tiver a forma
então é um hiperboloide de duas folhas, com o eixo principal ao longo da variável que aparece com sinal positivo. Portanto esta superfície é um hiperboloide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo
.
Passo 4
Entender onde a superfície existe (domínio em
). Reescrevendo para as secções horizontais (
fixo):
O lado direito precisa ser não‑negativo para existir solução real para
. Assim
Conclusão importante para o esboço: não há pontos com
. Há duas “folhas”: uma para
e outra para
. Nos planos
a equação dá
ou seja
e
: cada folha começa num ponto em
e
, respectivamente.
Passo 5
Descrever as secções horizontais (para esboçar as fatias):
Fixando com
, a secção é a elipse
Fixando
Colocando em forma padrão de elipse:
Os semi-eixos da elipse horizontal são
Exemplo numérico para ajudar no desenho: se
então
, portanto
Ou seja, para
a elipse tem eixo em
de comprimento
e em
de comprimento
. À medida que
aumenta, as elipses alargam.
Passo 6
Estudar as secções verticais para entender a abertura das folhas:
- Plano
: tem-se
que é uma hipérbole no plano
. As assíntotas dessa hipérbole (para grandes
) são
.
- Plano
: tem-se
que é uma hipérbole no plano
com assíntotas
.
Essas hipérboles mostram a forma “em taça” de cada folha: para grande, a superfície se aproxima das retas assíntotas formando um cone hiperbólico aproximado.
Essas hipérboles mostram a forma “em taça” de cada folha: para
Passo 7
Propriedades de simetria e centro (úteis na hora de desenhar):
- Centro da superfície: a origem
— mas lembrar: a superfície não passa pela origem; o centro é ponto de simetria. - Simetria: simétrica por rotação de 180° em torno de cada eixo coordenado e também simétrica em relação ao plano
(as duas folhas são imagens uma da outra por reflexão ). - Eixo principal: eixo
(as folhas estão centradas em torno de quando começam).
Passo 8
Instruções práticas para esboçar (passo a passo, do jeito que dá para fazer à mão na prova):
- Marque o eixo
vertical no papel e os eixos horizontais (ou horizontal e em perspectiva). - Marque os pontos de início das folhas:
e . - Para alguns níveis
positivos (por exemplo ) desenhe elipses horizontais centradas no eixo com semi-eixos e calculados acima. Faça o mesmo espelhando para negativos. - No plano
desenhe a hipérbole e suas assíntotas para guiar a abertura. - No plano
desenhe a hipérbole e as assíntotas . - Una suavemente as elipses seguindo as hipérboles-guia: cada folha tem formato de “taça” ou “óculos separados” acima e abaixo do plano
, sem nada entre .
Dica: comece com linhas suaves e leves; depois escureça a silhueta final de cada folha.
Passo 9
Resumo geométrico final (para fixar): a superfície é formada por duas componentes desconexas (folhas), uma acima de
e outra abaixo de
; cada folha tem secções horizontais elípticas que crescem com
e secções verticais hiperbólicas com assíntotas lineares.
Resposta
Hiperboloide de duas folhas, com eixo principal ao longo de
; as folhas existem para
e têm secções horizontais elípticas dadas por
.