Identifique e esboce a superfície quádrica.
(x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}=36)

Passo 1

O enunciado fornece a equação da superfície
x^{2}+4y^{2}+9z^{2}=36
O que é pedido:
  • Identificar que tipo de superfície quádrica é essa (nome, propriedades principais).
  • Esboçar (fazer uma descrição de como desenhar) a superfície.
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes dos termos quadráticos: 1 para x^{2}, 4 para y^{2}, 9 para z^{2}.
  • Termo independente: 36.
  • Não há termos mistos xy, xz, yz nem termos lineares x, y, z — isso indica simetria em torno da origem.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma elipsoide. A forma padrão de uma elipsoide centrada na origem é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
onde a, b e c são os semi-eixos ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. Para obter essa forma a partir da equação dada, divide-se ambos os lados por 36:
\frac{x^{2}}{36}+\frac{4y^{2}}{36}+\frac{9z^{2}}{36}=1.
Simplificando os coeficientes obtemos
\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1.

Passo 3

Identificar os semi-eixos comparando com a forma padrão. Na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
temos a^{2}=36, b^{2}=9, c^{2}=4. Portanto os semi-eixos são
a=6,\qquad b=3,\qquad c=2.
Isto significa que:
  • Interceptos com o eixo x: (\pm 6,0,0).
  • Interceptos com o eixo y: (0,\pm 3,0).
  • Interceptos com o eixo z: (0,0,\pm 2).

Passo 4

Classificação e propriedades principais (aulas rápidas):
  • A superfície é uma elipsoide (às vezes chamada elipsóide ou elipsóide tri-dimensional). Uma elipsoide é o análogo 3D de uma elipse: superficie fechada e limitada, convexa e simétrica em relação aos três planos coordenados quando centrada na origem.
  • Como não há termos mistos ou lineares, os eixos principais da elipsoide coincidem com os eixos coordenados x, y, z.
  • A elipsoide é fechada (contida numa região limitada do espaço) porque a soma de quadrados normalizada é igual a 1.

Passo 5

Traços (seções) nas superfícies coordenadas — útil para esboçar:
  • Plano z=0 (interseção com o plano xy):
\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1,
ou seja, uma elipse com semi-eixos 6 (no x) e 3 (no y). Eixos totais: 12 em x e 6 em y.
  • Plano y=0 (interseção com o plano xz):
\frac{x^{2}}{36}+\frac{z^{2}}{4}=1,
elipse com semi-eixos 6 (no x) e 2 (no z). Eixos totais: 12 em x e 4 em z.
  • Plano x=0 (interseção com o plano yz):
\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1,
elipse com semi-eixos 3 (no y) e 2 (no z). Eixos totais: 6 em y e 4 em z.
Esses traços mostram que a elipsoide é “esticada” mais ao longo do eixo x (maior semi-eixo a=6), menos ao longo de z (menor semi-eixo c=2), e intermediária em y.

Passo 6

Como esboçar a elipsoide passo a passo (modo prático, sem software):
  1. Desenhe um sistema de eixos 3D esquemático: eixo x saindo para a direita, eixo y para cima/para fora do plano (ou para a esquerda dependendo do seu estilo) e eixo z vertical — use uma projeção oblíqua simples.
  2. Marque os interceptos: (6,0,0), (-6,0,0), (0,3,0), (0,-3,0), (0,0,2), (0,0,-2).
  3. No plano z=0 desenhe a elipse que liga (\pm 6,0,0) e (0,\pm 3,0) — essa é a “faixa central” da elipsoide.
  4. No plano y=0 desenhe a elipse que liga (\pm 6,0,0) e (0,0,\pm 2) — essa mostra a curvatura no sentido xz.
  5. Ligue suavemente as curvas para obter uma superfície fechada, mais larga no eixo x, mais baixa no z. Use linhas pontilhadas para trás (partes ocultas) se quiser dar volume.
  6. Lembre-se da simetria: a elipsoide é simétrica por reflexões nos planos coordenados, então os quadrantes são cópias espelhadas.

Passo 7

Forma paramétrica (útil se for plotar com calculadora/sistema):
uma parametrização padrão é
x=a\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=b\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=c\cos\varphi,
com a=6, b=3, c=2, \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi). Isso gera todos os pontos da elipsoide e é útil para visualizar numericamente.

Resposta

Elipsoide centrado na origem com semi-eixos a=6 (direção x), b=3 (direção y) e c=2 (direção z); interceptos (\pm 6,0,0), (0,\pm 3,0), (0,0,\pm 2).

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