Identifique e esboce a superfície quádrica.
(x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}=36)
(x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}=36)
Passo 1
O enunciado fornece a equação da superfície
O que é pedido:
- Identificar que tipo de superfície quádrica é essa (nome, propriedades principais).
- Esboçar (fazer uma descrição de como desenhar) a superfície.
Informações relevantes dadas:
- Coeficientes dos termos quadráticos:
para , para , para . - Termo independente:
. - Não há termos mistos
nem termos lineares — isso indica simetria em torno da origem.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma elipsoide. A forma padrão de uma elipsoide centrada na origem é
onde
,
e
são os semi-eixos ao longo dos eixos
,
e
, respectivamente. Para obter essa forma a partir da equação dada, divide-se ambos os lados por
:
Simplificando os coeficientes obtemos
Passo 3
Identificar os semi-eixos comparando com a forma padrão. Na forma
temos
,
,
. Portanto os semi-eixos são
Isto significa que:
- Interceptos com o eixo
: . - Interceptos com o eixo
: . - Interceptos com o eixo
: .
Passo 4
Classificação e propriedades principais (aulas rápidas):
- A superfície é uma elipsoide (às vezes chamada elipsóide ou elipsóide tri-dimensional). Uma elipsoide é o análogo 3D de uma elipse: superficie fechada e limitada, convexa e simétrica em relação aos três planos coordenados quando centrada na origem.
- Como não há termos mistos ou lineares, os eixos principais da elipsoide coincidem com os eixos coordenados
, , . - A elipsoide é fechada (contida numa região limitada do espaço) porque a soma de quadrados normalizada é igual a
.
Passo 5
Traços (seções) nas superfícies coordenadas — útil para esboçar:
- Plano
(interseção com o plano ):
ou seja, uma elipse com semi-eixos
(no
) e
(no
). Eixos totais:
em
e
em
.
- Plano
(interseção com o plano ):
elipse com semi-eixos
(no
) e
(no
). Eixos totais:
em
e
em
.
- Plano
(interseção com o plano ):
elipse com semi-eixos
(no
) e
(no
). Eixos totais:
em
e
em
.
Esses traços mostram que a elipsoide é “esticada” mais ao longo do eixo
(maior semi-eixo
), menos ao longo de
(menor semi-eixo
), e intermediária em
.
Passo 6
Como esboçar a elipsoide passo a passo (modo prático, sem software):
- Desenhe um sistema de eixos 3D esquemático: eixo
saindo para a direita, eixo para cima/para fora do plano (ou para a esquerda dependendo do seu estilo) e eixo vertical — use uma projeção oblíqua simples. - Marque os interceptos:
, , , , , . - No plano
desenhe a elipse que liga e — essa é a “faixa central” da elipsoide. - No plano
desenhe a elipse que liga e — essa mostra a curvatura no sentido . - Ligue suavemente as curvas para obter uma superfície fechada, mais larga no eixo
, mais baixa no . Use linhas pontilhadas para trás (partes ocultas) se quiser dar volume. - Lembre-se da simetria: a elipsoide é simétrica por reflexões nos planos coordenados, então os quadrantes são cópias espelhadas.
Passo 7
Forma paramétrica (útil se for plotar com calculadora/sistema):
uma parametrização padrão é
uma parametrização padrão é
com
,
,
,
,
. Isso gera todos os pontos da elipsoide e é útil para visualizar numericamente.
Resposta
Elipsoide centrado na origem com semi-eixos
(direção
),
(direção
) e
(direção
); interceptos
,
,
.