Identifique e esboce a superfície quádrica.
(y{2}-\frac{x{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1)
(y{2}-\frac{x{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: identificar que tipo de superfície quádrica é a dada e explicar/esboçar como ela é. A equação fornecida é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Os coeficientes dos termos quadráticos são
para , para e para . - O lado direito da equação é
(constante positiva). - Não há termos lineares nem termos mistos (
), nem termos constantes além de .
Passo 2
Observar os sinais dos três termos quadráticos e comparar com as formas padrão de quádricas. Reescrevendo de forma canônica:
Temos um termo positivo e dois termos negativos, e o resultado é
. Uma equação com exatamente um quadrado com coeficiente positivo e dois com coeficiente negativo, igual a
, corresponde a um hipérboloide do tipo “duas folhas” cujo eixo principal é a direção do termo positivo (aqui o eixo
). Portanto, já podemos identificar a superfície como um hipérboloide de duas folhas com eixo ao longo do eixo
.
Passo 3
Encontrar o centro e os vértices (pontos mais próximos do centro) da superfície:
- Como não há termos lineares, o centro da quádica é a origem
. - Para interceptos na direção dos eixos: colocar
e dá
Logo os vértices das duas folhas são os pontos
e
.
- Não existem pontos com
, porque substituir dá , impossível em reais. Assim, não há interseção com o plano .
Passo 4
Analisar seções (traços) nas retas e planos coordenados — isso ajuda muito para esboçar:
- Traço no plano
: substituir obtém
que é uma hipérbole no plano
, com ramos abertos ao longo do eixo
(passando pelos pontos
).
- Traço no plano
: substituir obtém
que é uma hipérbole no plano
, também com ramos abertos ao longo do eixo
.
- Traço no plano
: reorganizando a equação para ,
Se
, o lado direito é positivo e a seção é uma elipse; se
é um ponto; se
não há interseção real. Isso confirma que há duas folhas separadas, uma para
e outra para
.
Passo 5
Detalhar as elipses transversais (seções por planos
) e seus eixos:
- Para
, a equação da seção é
Isolando os semi-eixos: quando
tem
; quando
tem
. Então a elipse tem semi-eixo em
igual a
e em
igual a
.
- Exemplo numérico prático para desenhar: para
temos , logo semi-eixo em é e em é . Desenhe essa elipse no plano ; para os eixos são maiores, etc.
Passo 6
Determinar o cone assintótico (superfície limite para
grande): tomar a equação homogênea de grau 2 associada, isto é
Essa é a superfície cônica assintótica: quando
cresce muito, as elipses transversais crescem aproximadamente proporcionalmente a
e a superfície aproxima-se desse cone. Em particular, para direções unitárias
o cone dá a razão de crescimento das coordenadas.
Passo 7
Parâmetros úteis para desenhar explicitamente (parametrização usando funções hiperbólicas):
- Uma parametrização que satisfaz identicamente a identidade hiperbólica
com
. Para o sinal
obtém-se a folha superior (
), para o sinal
a folha inferior (
). Essa parametrização é prática para plotar pontos: variar
controla a distância da folha ao vértice, variar
desenha as elipses transversais.]
Passo 8
Passo a passo prático para esboçar (como fazer rápido numa prova):
- Desenhe os eixos
, (vertical, por exemplo) e (perpendicular ao papel em perspectiva ou desenhe projeção no plano ). Marque o ponto e — esses são os vértices. - Em
e coloque pontos (são os mínimos das folhas). Entre esses planos não há superfície. - Para
desenhe a elipse com semi-eixos e (veja o exemplo do Passo 5). Faça mais uma ou duas elipses para (cada vez maiores) para a folha superior; faça o mesmo simetricamente para a folha inferior. - Desenhe as hipérboles nos planos
e para mostrar a abertura ao longo de . - Se quiser, desenhe levemente o cone assintótico
para guiar as direções das folhas quando cresce.
Dica amiga: comece pelo vértice e expanda elipses crescentes — isso dá logo a noção da forma “duas tigelas” simétricas em torno da origem.
Passo 9
Resumo do comportamento geométrico para fixar na cabeça:
- Superfície composta por duas folhas separadas: uma para
(folha superior) e outra para (folha inferior). - Vértices em
. - Seções transversais para
constante são elipses (quando ). - Traços nos planos
e são hipérboles. - Para
grande, a superfície aproxima-se do cone .
Resposta
Hipérboloide de duas folhas com eixo principal ao longo do eixo
; vértices em
e
.