Identifique e esboce a superfície quádrica.
(y{2}-\frac{x{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: identificar que tipo de superfície quádrica é a dada e explicar/esboçar como ela é. A equação fornecida é
y^{2}-\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os coeficientes dos termos quadráticos são +1 para y^{2}, -\tfrac{1}{4} para x^{2} e -\tfrac{1}{9} para z^{2}.
  • O lado direito da equação é 1 (constante positiva).
  • Não há termos lineares nem termos mistos ( xy,xz,yz), nem termos constantes além de 1.

Passo 2

Observar os sinais dos três termos quadráticos e comparar com as formas padrão de quádricas. Reescrevendo de forma canônica:
\frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1.
Temos um termo positivo e dois termos negativos, e o resultado é 1>0. Uma equação com exatamente um quadrado com coeficiente positivo e dois com coeficiente negativo, igual a 1, corresponde a um hipérboloide do tipo “duas folhas” cujo eixo principal é a direção do termo positivo (aqui o eixo y). Portanto, já podemos identificar a superfície como um hipérboloide de duas folhas com eixo ao longo do eixo y.

Passo 3

Encontrar o centro e os vértices (pontos mais próximos do centro) da superfície:
  • Como não há termos lineares, o centro da quádica é a origem (0,0,0).
  • Para interceptos na direção dos eixos: colocar x=0 e z=0
y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y=\pm 1.
Logo os vértices das duas folhas são os pontos (0,1,0) e (0,-1,0).
  • Não existem pontos com y=0, porque substituir y=0 -\tfrac{x^{2}}{4}-\tfrac{z^{2}}{9}=1, impossível em reais. Assim, não há interseção com o plano y=0.

Passo 4

Analisar seções (traços) nas retas e planos coordenados — isso ajuda muito para esboçar:
  • Traço no plano x=0: substituir x=0 obtém
y^{2}-\frac{z^{2}}{9}=1,
que é uma hipérbole no plano yz, com ramos abertos ao longo do eixo y (passando pelos pontos (y=\pm1,z=0)).
  • Traço no plano z=0: substituir z=0 obtém
y^{2}-\frac{x^{2}}{4}=1,
que é uma hipérbole no plano xy, também com ramos abertos ao longo do eixo y.
  • Traço no plano y=\text{const}=y_0: reorganizando a equação para x,z,
\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=y_0^{2}-1.
Se |y_0|>1, o lado direito é positivo e a seção é uma elipse; se |y_0|=1 é um ponto; se |y_0|<1 não há interseção real. Isso confirma que há duas folhas separadas, uma para y\ge 1 e outra para y\le -1.

Passo 5

Detalhar as elipses transversais (seções por planos y=y_0) e seus eixos:
  • Para |y_0|>1, a equação da seção é
\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=y_0^{2}-1.
Isolando os semi-eixos: quando z=0 tem x=\pm 2\sqrt{y_0^{2}-1}; quando x=0 tem z=\pm 3\sqrt{y_0^{2}-1}. Então a elipse tem semi-eixo em x igual a 2\sqrt{y_0^{2}-1} e em z igual a 3\sqrt{y_0^{2}-1}.
  • Exemplo numérico prático para desenhar: para y_0=2 temos y_0^{2}-1=3, logo semi-eixo em x é 2\sqrt{3}\approx 3{,}464 e em z é 3\sqrt{3}\approx 5{,}196. Desenhe essa elipse no plano y=2; para y=3 os eixos são maiores, etc.

Passo 6

Determinar o cone assintótico (superfície limite para |y| grande): tomar a equação homogênea de grau 2 associada, isto é
y^{2}-\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=0.
Essa é a superfície cônica assintótica: quando |y| cresce muito, as elipses transversais crescem aproximadamente proporcionalmente a |y| e a superfície aproxima-se desse cone. Em particular, para direções unitárias (x:y:z) o cone dá a razão de crescimento das coordenadas.

Passo 7

Parâmetros úteis para desenhar explicitamente (parametrização usando funções hiperbólicas):
  • Uma parametrização que satisfaz identicamente a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1\) é \[\begin{cases} y=\pm \operatorname{cosh} u,\\[4pt] x=2\,\operatorname{sinh} u\cos v,\\[4pt] z=3\,\operatorname{sinh} u\sin v, \end{cases}
com u\ge 0\] e \(v\in[0,2\pi). Para o sinal + obtém-se a folha superior ( y\ge 1), para o sinal - a folha inferior ( y\le -1). Essa parametrização é prática para plotar pontos: variar u controla a distância da folha ao vértice, variar v desenha as elipses transversais.]

Passo 8

Passo a passo prático para esboçar (como fazer rápido numa prova):
  1. Desenhe os eixos x, y (vertical, por exemplo) e z (perpendicular ao papel em perspectiva ou desenhe projeção no plano xz). Marque o ponto (0,1,0) e (0,-1,0) — esses são os vértices.
  2. Em y=1 e y=-1 coloque pontos (são os mínimos das folhas). Entre esses planos não há superfície.
  3. Para y=2 desenhe a elipse com semi-eixos 2\sqrt{3} e 3\sqrt{3} (veja o exemplo do Passo 5). Faça mais uma ou duas elipses para y=3,4 (cada vez maiores) para a folha superior; faça o mesmo simetricamente para a folha inferior.
  4. Desenhe as hipérboles nos planos x=0 e z=0 para mostrar a abertura ao longo de y.
  5. Se quiser, desenhe levemente o cone assintótico y^{2}-\tfrac{x^{2}}{4}-\tfrac{z^{2}}{9}=0 para guiar as direções das folhas quando y cresce.
    Dica amiga: comece pelo vértice e expanda elipses crescentes — isso dá logo a noção da forma “duas tigelas” simétricas em torno da origem.

Passo 9

Resumo do comportamento geométrico para fixar na cabeça:
  • Superfície composta por duas folhas separadas: uma para y\ge 1 (folha superior) e outra para y\le -1 (folha inferior).
  • Vértices em (0,\pm1,0).
  • Seções transversais para y= constante são elipses (quando |y|>1).
  • Traços nos planos x=0 e z=0 são hipérboles.
  • Para |y| grande, a superfície aproxima-se do cone y^{2}-\tfrac{x^{2}}{4}-\tfrac{z^{2}}{9}=0.

Resposta

Hipérboloide de duas folhas com eixo principal ao longo do eixo y; vértices em (0,1,0) e (0,-1,0).

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