Identifique e esboce a superfície quádrica.
(z-3 x^{2}-3 y^{2}=0)

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
z-3x^{2}-3y^{2}=0
e pede duas coisas: identificar que tipo de superfície quádrica é e esboçá‑la. Informações dadas:
  • A equação explícita é z-3x^{2}-3y^{2}=0.
  • Não há condições adicionais (por ex. restrições em x,y,z).

Passo 2

Colocar a equação na forma mais direta para interpretar:
z-3x^{2}-3y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad z=3x^{2}+3y^{2}.
Isto torna evidente que z é uma soma de termos quadráticos em x e y. Guardar essa forma é útil para analisar traços e simetrias.

Passo 3

Classificação por observação dos coeficientes:
  • A forma geral de um paraboloide elíptico que abre para cima é \;z=a x^{2}+b y^{2}\; com a>0 e b>0.
  • Aqui a=3>0 e b=3>0, ambos positivos e iguais.
    Portanto a superfície é um paraboloide elíptico que abre para cima. Como a=b as seções horizontais são círculos (simetria circular em torno do eixo z) — é, mais precisamente, um paraboloide elíptico com seção circular (às vezes chamado de paraboloide circular).

Passo 4

Encontrar vértice e eixo de simetria:
  • Como z=3x^{2}+3y^{2} e x^{2},y^{2}\ge0, o menor valor possível de z é 0, que ocorre em x=0,y=0.
  • Assim o vértice é (0,0,0).
  • A superfície é simétrica por rotação em torno do eixo z; portanto o eixo de simetria é a reta \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
  • A superfície abre no sentido positivo de z (para cima).

Passo 5

Traços (cortes) que ajudam no esboço — explicar o que são e calcular alguns exemplos:
  • Traços horizontais (planos z=c com c\ge0): z=c \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}+3y^{2}=c \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=\frac{c}{3}.Isso é um círculo de raio \sqrt{c/3}. Exemplos práticos (peguei esses valores a partir da expressão dos traços):
    • Para c=3: círculo de raio \sqrt{3/3}=1.
    • Para c=12: círculo de raio \sqrt{12/3}=2.
    • Para c=27: círculo de raio \sqrt{27/3}=3.
  • Traços verticais no plano y=0: y=0 \quad\Rightarrow\quad z=3x^{2},que é uma parábola no plano xz abrindo para cima. Pontos úteis: x=\pm1\Rightarrow z=3, x=\pm2\Rightarrow z=12.
  • Traços verticais no plano x=0 fornecem z=3y^{2}, análogo ao caso anterior.
  • Traço no plano z=0 é apenas o ponto (0,0,0).

Passo 6

Parâmetros e simetria em coordenadas polares (útil para visualizar):
  • Em coordenadas polares no plano xy: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
  • Substituindo, z=3r^{2}.
  • Parâmetrização possível: \mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; 3r^{2}\bigr),com r\ge0,\;0\le\theta<2\pi. Isso mostra claramente a simetria circular (dependência só de r) e que quanto maior r, maior z seguindo uma lei quadrática.

Passo 7

Interpretação geométrica e dica prática de esboço (passo a passo para desenhar à mão, como na prova):
  1. Desenhar um sistema de eixos com z vertical e o plano xy horizontal.
  2. Marcar o vértice em (0,0,0).
  3. Traçar o eixo z (reta vertical) como eixo de simetria.
  4. Em alturas z=3,\,12,\,27 desenhar círculos de raio 1,\,2,\,3 respectivamente no plano horizontal — esses são os traços horizontais. Conectar suavemente esses círculos formando uma “tigela” (bowl) lisa.
  5. Desenhar também a parábola no plano y=0, com pontos (0,0),(1,3),(-1,3),(2,12), para lembrar a curvatura no corte vertical.
  6. Indicar setas para cima mostrando que a superfície abre para +\!z.

Passo 8

Comentário sobre “inclinação”/abertura: comparação com z=x^{2}+y^{2}
  • Aqui o fator 3 torna o paraboloide mais “fechado” (mais íngreme) que z=x^{2}+y^{2}.
  • Relação útil: para uma dada altura z, o raio da seção é \sqrt{z/3}, enquanto para z=x^{2}+y^{2} seria \sqrt{z}. Logo as seções horizontais têm raio menor para o mesmo z.

Resposta

Paraboloide elíptico (circular) dado por z=3x^{2}+3y^{2}; vértice em (0,0,0); eixo de simetria o eixo z; abre para cima. Seções horizontais z=c são círculos de raio \sqrt{c/3}. Seções verticais (por exemplo y=0) são parábolas z=3x^{2}.

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