Identifique e esboce a superfície quádrica.
(z-3 x^{2}-3 y^{2}=0)
(z-3 x^{2}-3 y^{2}=0)
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede duas coisas: identificar que tipo de superfície quádrica é e esboçá‑la. Informações dadas:
- A equação explícita é
. - Não há condições adicionais (por ex. restrições em
).
Passo 2
Colocar a equação na forma mais direta para interpretar:
Isto torna evidente que
é uma soma de termos quadráticos em
e
. Guardar essa forma é útil para analisar traços e simetrias.
Passo 3
Classificação por observação dos coeficientes:
- A forma geral de um paraboloide elíptico que abre para cima é
com e . - Aqui
e , ambos positivos e iguais.
Portanto a superfície é um paraboloide elíptico que abre para cima. Comoas seções horizontais são círculos (simetria circular em torno do eixo ) — é, mais precisamente, um paraboloide elíptico com seção circular (às vezes chamado de paraboloide circular).
Passo 4
Encontrar vértice e eixo de simetria:
- Como
e , o menor valor possível de é , que ocorre em . - Assim o vértice é
. - A superfície é simétrica por rotação em torno do eixo
; portanto o eixo de simetria é a reta . - A superfície abre no sentido positivo de
(para cima).
Passo 5
Traços (cortes) que ajudam no esboço — explicar o que são e calcular alguns exemplos:
- Traços horizontais (planos
com ): Isso é um círculo de raio . Exemplos práticos (peguei esses valores a partir da expressão dos traços): - Para
: círculo de raio . - Para
: círculo de raio . - Para
: círculo de raio .
- Para
- Traços verticais no plano
: que é uma parábola no plano abrindo para cima. Pontos úteis: , . - Traços verticais no plano
fornecem , análogo ao caso anterior. - Traço no plano
é apenas o ponto .
Passo 6
Parâmetros e simetria em coordenadas polares (útil para visualizar):
- Em coordenadas polares no plano
: . - Substituindo,
- Parâmetrização possível:
com . Isso mostra claramente a simetria circular (dependência só de ) e que quanto maior , maior seguindo uma lei quadrática.
Passo 7
Interpretação geométrica e dica prática de esboço (passo a passo para desenhar à mão, como na prova):
- Desenhar um sistema de eixos com
vertical e o plano horizontal. - Marcar o vértice em
. - Traçar o eixo
(reta vertical) como eixo de simetria. - Em alturas
desenhar círculos de raio respectivamente no plano horizontal — esses são os traços horizontais. Conectar suavemente esses círculos formando uma “tigela” (bowl) lisa. - Desenhar também a parábola no plano
, com pontos , para lembrar a curvatura no corte vertical. - Indicar setas para cima mostrando que a superfície abre para
.
Passo 8
Comentário sobre “inclinação”/abertura: comparação com
- Aqui o fator
torna o paraboloide mais “fechado” (mais íngreme) que . - Relação útil: para uma dada altura
, o raio da seção é , enquanto para seria . Logo as seções horizontais têm raio menor para o mesmo .
Resposta
Paraboloide elíptico (circular) dado por
; vértice em
; eixo de simetria o eixo
; abre para cima. Seções horizontais
são círculos de raio
. Seções verticais (por exemplo
) são parábolas
.