Identifique e esboce a superfície quádrica.
(x{2}+y{2}-z^{2}=9)
(x{2}+y{2}-z^{2}=9)
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada pela equação
Informações fornecidas:
- A superfície é definida implicitamente pela equação acima.
- Não há mais dados; a tarefa é (1) identificar o tipo de quádricas e (2) explicar como desenhar/visualizar (esboçar) essa superfície.
Passo 2
Colocar a equação na forma normalizada ajuda na identificação. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Aqui aparecem dois termos positivos (
e
) e um termo negativo (
), tudo igual a
. Esse padrão (duas variáveis com sinal + e uma com sinal
, lado direito
) já nos dá uma pista sobre o tipo da superfície: é um hiperboloide com uma folha. Vou explicar por quê nos próximos passos.
Passo 3
Regra prática (útil na prova): para a equação em forma
- se dois termos têm sinal
e um termo tem sinal (com o RHS ), então é um hiperboloide de uma folha; - se um termo tem sinal
e dois têm sinal , com RHS , então é um hiperboloide de duas folhas.
No nosso caso temos exatamente a primeira situação com
. Portanto a superfície é um hiperboloide de uma folha.
Passo 4
Para entender a forma, analiso secções por planos
. Fixe
qualquer; substituindo na equação:
Isto é um círculo no plano
com raio
Observações importantes:
- Para
o círculo tem raio . Esse é o “perímetro mínimo” (a cintura) do hiperboloide. - Para
crescente, aumenta (pois aumenta). Logo as secções horizontais são círculos que crescem conforme nos afastamos do plano . - Isso mostra que o corpo é conectado, com uma cintura em
e alargando-se para cima e para baixo.
Passo 5
Agora observo secções por planos verticais para ver o formato em um corte. Por exemplo, para
temos
ou seja uma hipérbole no plano
. Do mesmo modo, para
obtemos
outra hipérbole no plano
. Isso mostra que, em cortes verticais passando pelo eixo
, aparecem hipérboles com dois ramos (um ramo para
/
e outro para
/
), o que coincide com a aparência típica de hiperboloide de uma folha (uma superfície que “passa pelo meio” e forma hipérboles em cortes longitudinais).
Passo 6
Assíntotas: para grandes
a parte constante
fica pequena em relação a
. Se anularmos o termo constante obtemos a superfície limite (cone assintótico)
isto é
Esse é o cone duplo com vértice na origem (abertura de
em coordenadas cartesianas simples). O hiperboloide se aproxima desse cone quando
. Em linguagem prática: a superfície “vira” quase um cone para grandes alturas, mas tem a cintura arredondada em
.
Passo 7
Uma parametrização simples (útil para desenho) usa
e o ângulo polar
como parâmetros. Seja
e
. Então
e uma parametrização é
Explicando as variáveis:
varia ao longo do eixo
(vai para cima e para baixo) e
dá a volta em círculos em torno do eixo
. Para cada
se obtém o círculo de raio
.
Passo 8
Instruções passo a passo para esboçar (faça no papel com eixos
):
- Desenhe os eixos
, (plano horizontal) e (vertical). Marque o ponto . - No plano
desenhe um círculo centrado na origem com raio . Esse é o “anel” ou cintura do hiperboloide. - Acima (para
) desenhe círculos concêntricos com raios maiores que . Por exemplo, trace uma linha para com raio , para com raio (não precisa ser numérico exato, apenas maior). - Repita simetricamente para
(os raios são os mesmos para e ). - Ligue suavemente os círculos formando uma superfície lisa que passa pela cintura e se abre conformemente aos círculos. Evite arestas; o hiperboloide é suave.
- Opcional: desenhe as retas geradoras (o hiperboloide de uma folha tem geradoras retas reais) se quiser um esboço mais técnico — mas para prova normalmente basta mostrar os círculos horizontais, as hipérboles nos cortes verticais e o cone assintótico.
Passo 9
Resumo das propriedades geométricas que ajudam a reconhecer/argumentar na prova:
- Tipo: hiperboloide de uma folha.
- Simetria: simétrico em relação ao plano
(par em ) e rotacionalmente simétrico em torno do eixo . - Cintura mínima: em
, círculo de raio . - Para cada
fixo, a seção é o círculo de raio . - Assíntotas: aproxima-se do cone
quando cresce. - Parametrização útil:
.
Passo 10
Dica rápida para a prova (quebra de pânico): para identificar qualquer quádricas da forma com quadrados, normalize dividindo pelo termo constante, conte sinais
e
e compare com os padrões:
- dois
e um → hiperboloide de uma folha, - um
e dois → hiperboloide de duas folhas, - todos
→ elipsoide, etc.
Isso economiza tempo e evita cálculos desnecessários.
Resposta
Hiperboloide de uma folha; forma canônica
.