Identifique e esboce a superfície quádrica.
(x{2}+y{2}-z^{2}=9)

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada pela equação
x^{2}+y^{2}-z^{2}=9.
Informações fornecidas:
  • A superfície é definida implicitamente pela equação acima.
  • Não há mais dados; a tarefa é (1) identificar o tipo de quádricas e (2) explicar como desenhar/visualizar (esboçar) essa superfície.

Passo 2

Colocar a equação na forma normalizada ajuda na identificação. Dividindo ambos os lados por 9 obtemos
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{9}=1.
Aqui aparecem dois termos positivos ( \frac{x^{2}}{9} e \frac{y^{2}}{9}) e um termo negativo ( -\frac{z^{2}}{9}), tudo igual a 1. Esse padrão (duas variáveis com sinal + e uma com sinal -, lado direito =1) já nos dá uma pista sobre o tipo da superfície: é um hiperboloide com uma folha. Vou explicar por quê nos próximos passos.

Passo 3

Regra prática (útil na prova): para a equação em forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
  • se dois termos têm sinal + e um termo tem sinal - (com o RHS =1), então é um hiperboloide de uma folha;
  • se um termo tem sinal + e dois têm sinal -, com RHS =1, então é um hiperboloide de duas folhas.
No nosso caso temos exatamente a primeira situação com a=b=c=3. Portanto a superfície é um hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Para entender a forma, analiso secções por planos z=\text{constante}. Fixe z=z_{0} qualquer; substituindo na equação:
x^{2}+y^{2}=9+z_{0}^{2}.
Isto é um círculo no plano z=z_{0} com raio
r(z_{0})=\sqrt{9+z_{0}^{2}}.
Observações importantes:
  • Para z_{0}=0 o círculo tem raio \sqrt{9}=3. Esse é o “perímetro mínimo” (a cintura) do hiperboloide.
  • Para |z_{0}| crescente, r(z_{0}) aumenta (pois 9+z_{0}^{2} aumenta). Logo as secções horizontais são círculos que crescem conforme nos afastamos do plano z=0.
  • Isso mostra que o corpo é conectado, com uma cintura em z=0 e alargando-se para cima e para baixo.

Passo 5

Agora observo secções por planos verticais para ver o formato em um corte. Por exemplo, para x=0 temos
y^{2}-z^{2}=9,
ou seja uma hipérbole no plano x=0. Do mesmo modo, para y=0 obtemos
x^{2}-z^{2}=9,
outra hipérbole no plano y=0. Isso mostra que, em cortes verticais passando pelo eixo z, aparecem hipérboles com dois ramos (um ramo para y>0 / x>0 e outro para y<0 / x<0), o que coincide com a aparência típica de hiperboloide de uma folha (uma superfície que “passa pelo meio” e forma hipérboles em cortes longitudinais).

Passo 6

Assíntotas: para grandes |z| a parte constante 9 fica pequena em relação a z^{2}. Se anularmos o termo constante obtemos a superfície limite (cone assintótico)
x^{2}+y^{2}-z^{2}=0,
isto é
z^{2}=x^{2}+y^{2}\quad\Longrightarrow\quad z=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Esse é o cone duplo com vértice na origem (abertura de 45^\circ em coordenadas cartesianas simples). O hiperboloide se aproxima desse cone quando |z|\to\infty. Em linguagem prática: a superfície “vira” quase um cone para grandes alturas, mas tem a cintura arredondada em z=0.

Passo 7

Uma parametrização simples (útil para desenho) usa z e o ângulo polar \theta como parâmetros. Seja z=t e \theta\in[0,2\pi). Então
r(t)=\sqrt{9+t^{2}},
e uma parametrização é
x=r(t)\cos\theta=\sqrt{9+t^{2}}\cos\theta,
y=r(t)\sin\theta=\sqrt{9+t^{2}}\sin\theta,
z=t.
Explicando as variáveis: t varia ao longo do eixo z (vai para cima e para baixo) e \theta dá a volta em círculos em torno do eixo z. Para cada t se obtém o círculo de raio \sqrt{9+t^{2}}.

Passo 8

Instruções passo a passo para esboçar (faça no papel com eixos x,y,z):
  1. Desenhe os eixos x, y (plano horizontal) e z (vertical). Marque o ponto z=0.
  2. No plano z=0 desenhe um círculo centrado na origem com raio 3. Esse é o “anel” ou cintura do hiperboloide.
  3. Acima (para z>0) desenhe círculos concêntricos com raios maiores que 3. Por exemplo, trace uma linha para z=1 com raio \sqrt{10}, para z=2 com raio \sqrt{13} (não precisa ser numérico exato, apenas maior).
  4. Repita simetricamente para z<0 (os raios são os mesmos para z e -z).
  5. Ligue suavemente os círculos formando uma superfície lisa que passa pela cintura e se abre conformemente aos círculos. Evite arestas; o hiperboloide é suave.
  6. Opcional: desenhe as retas geradoras (o hiperboloide de uma folha tem geradoras retas reais) se quiser um esboço mais técnico — mas para prova normalmente basta mostrar os círculos horizontais, as hipérboles nos cortes verticais e o cone assintótico.

Passo 9

Resumo das propriedades geométricas que ajudam a reconhecer/argumentar na prova:
  • Tipo: hiperboloide de uma folha.
  • Simetria: simétrico em relação ao plano z=0 (par em z) e rotacionalmente simétrico em torno do eixo z.
  • Cintura mínima: em z=0, círculo de raio 3.
  • Para cada z fixo, a seção é o círculo de raio \sqrt{9+z^{2}}.
  • Assíntotas: aproxima-se do cone x^{2}+y^{2}-z^{2}=0 quando |z| cresce.
  • Parametrização útil: \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(\sqrt{9+t^{2}}\cos\theta,\\ \sqrt{9+t^{2}}\sin\theta,\\ t\bigr).

Passo 10

Dica rápida para a prova (quebra de pânico): para identificar qualquer quádricas da forma com quadrados, normalize dividindo pelo termo constante, conte sinais + e - e compare com os padrões:
  • dois + e um - → hiperboloide de uma folha,
  • um + e dois - → hiperboloide de duas folhas,
  • todos + → elipsoide, etc.
    Isso economiza tempo e evita cálculos desnecessários.

Resposta

Hiperboloide de uma folha; forma canônica \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{z^{2}}{9}=1.

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