Identifique e esboce a superfície quádrica.
(4 z{2}=x{2}+4 y^{2})

Passo 1

O enunciado fornece a equação da superfície
4 z^{2}=x^{2}+4 y^{2}
e pede que eu identifique que tipo de superfície é e faça um esboço (desenho mental/estrutura). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é homogênea de grau 2 (só termos quadráticos, sem termos lineares ou constantes).
  • A equação pode ser reescrita isolando termos, fato que ajudará a ver cortes e gerar o esboço.
    O que se pede:
  • Identificar o tipo de superfície (nome geométrico).
  • Descrever suas características (como cortes por planos coordenados, geratriz/linhas diretrizes, formato das seções transversais).
  • Dar uma forma prática de esboçar (e, se possível, uma parametrização).

Passo 2

Reescrevendo a equação numa forma mais conveniente para classificação:
4 z^{2}=x^{2}+4 y^{2}
subtraindo 4z^{2} dos dois lados:
x^{2}+4 y^{2}-4 z^{2}=0.
Dividindo toda equação por 4 (para obter coeficientes mais simples):
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}-z^{2}=0.
Observação importante (conceito usado aqui): uma equação quadrática homogênea como Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}=0 descreve, quando os coeficientes não são todos do mesmo sinal, uma superfície que passa pela origem e que frequentemente é um cone cujas geratrizes são retas que passam pela origem. Aqui os sinais são + para x^{2} e y^{2} e - para z^{2}, ou seja, temos duas parcelas positivas e uma negativa — isso sugere uma superfície do tipo “cone duplo” (duas nappes simétricas em relação à origem), com eixo ao longo da variável cuja parcela tem sinal oposto (no caso, o eixo z).

Passo 3

Estudo das seções por planos z=\text{constante} (fatia paralela ao plano xy):
Fixando z=z_{0}, com z_{0} dado, a equação torna-se
x^{2}+4 y^{2}=4 z_{0}^{2}.
Essa é a equação de uma elipse no plano z=z_{0}. Podemos escrever em forma padrão:
\frac{x^{2}}{(2|z_{0}|)^{2}}+\frac{y^{2}}{(|z_{0}|)^{2}}=1.
Assim, para cada z_{0}\neq 0 a seção é uma elipse centrada na origem do plano z=z_{0} com semi-eixo ao longo de x igual a 2|z_{0}| e semi-eixo ao longo de y igual a |z_{0}|. Isso mostra que, à medida que |z_{0}| aumenta, a elipse cresce linearmente — comportamento típico de um cone com elipses de seção transversal.

Passo 4

Comportamento em z=0 e simetria:
  • Para z_{0}=0 a equação das seções dá
x^{2}+4 y^{2}=0,
que implica x=0 e y=0. Ou seja, a seção em z=0 é apenas o ponto (0,0,0) — o vértice (ápice) do cone.
  • Como a equação envolve z^{2}, a superfície é simétrica em relação ao plano z=0: há duas nappes, uma para z>0 e outra para z<0, idênticas entre si por reflexão.

Passo 5

Interseções com os planos coordenados (útil para esboço por linhas retas geradoras):
  • Plano y=0: substituindo y=0 na equação original,
4 z^{2}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2 z.
No plano y=0 (o plano xz) a superfície intersecta-se ao longo de duas retas x=2z e x=-2z passando pela origem.
  • Plano x=0: substituindo x=0,
4 z^{2}=4 y^{2}\quad\Rightarrow\quad z=\pm y.
No plano x=0 (o plano yz) a interseção são as retas z=y e z=-y.
Essas retas mostram as diretrizes (geratrizes) do cone: a superfície é gerada por retas que saem do vértice e seguem nas direções dadas por essas interseções.

Passo 6

Parametrização conveniente (útil para entender e desenhar):
Escolhendo parâmetros t\in\mathbb{R} (que servirá como coordenada z) e \theta\in[0,2\pi), uma parametrização que gera toda a superfície é
x=2t\cos\theta,\qquad y=t\sin\theta,\qquad z=t.
Verificação rápida: substituindo na equação,
x^{2}+4y^{2}=(2t\cos\theta)^{2}+4(t\sin\theta)^{2}=4t^{2}\cos^{2}\theta+4t^{2}\sin^{2}\theta=4t^{2}=4z^{2},
logo satisfaz a equação para todo t,\theta. Permitindo t positivo e negativo, obtemos as duas nappes do cone. Essa parametrização evidencia que, para cada t fixo, (x,y) descreve a elipse já encontrada com semi-eixos 2|t| e |t|.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (dicas práticas para fazer rápido na prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos x, y (horizontal) e z (vertical). Marque o ponto origem.
  2. No plano y=0 desenhe as retas x=\pm 2z — estas são as geratrizes do cone vistas no plano xz. No plano x=0 desenhe as retas z=\pm y — geratrizes vistas no plano yz.
  3. Essas retas determinam dois cones opostos com vértice na origem: uma parte para cima ( z>0) e outra idêntica para baixo ( z<0).
  4. Para dar “volume” ao esboço, desenhe algumas seções elípticas em planos z= constante: por exemplo, para z=1 desenhe a elipse x^{2}+4y^{2}=4 (extensão em x até \pm 2, em y até \pm 1); para z=2 desenhe a elipse x^{2}+4y^{2}=16 (extensão em x até \pm 4, em y até \pm 2). Faça o mesmo para z=-1,-2 refletindo abaixo do plano z=0.
  5. Trace linhas suavemente ligando os contornos das elipses passando pela origem; isso dá a aparência do cone elíptico. Sombreie levemente para separar as nappes se quiser.
Pequeno reforço com pontos concretos (para marcar no desenho):
  • Para z=1: (2,0,1), (0,1,1), (-2,0,1), (0,-1,1) pertencem à superfície.
  • Para z=-1: os mesmos pontos com z=-1: (2,0,-1), (0,1,-1), etc.

Passo 8

Resumo intuitivo e mental (para fixar antes da prova):
  • A superfície é um cone duplo (duas nappes), com vértice na origem e eixo no sentido do eixo z.
  • Cada plano paralelo ao plano xy corta em elipses que crescem linearmente com |z|; portanto é um cone elíptico (geralização do cone circular).
  • As interseções com os planos coordenados resultam em retas que são geratrizes visíveis no esboço: x=\pm 2z (no plano y=0) e z=\pm y (no plano x=0).

Resposta

Cone duplo (cone elíptico) dado por x^{2}+4y^{2}-4z^{2}=0. Seções z={\rm const} são elipses x^{2}+4y^{2}=4z^{2} com semi-eixos 2|z| (eixo x) e |z| (eixo y); parametrização \;x=2t\cos\theta,\;y=t\sin\theta,\;z=t\; (com t\in\mathbb{R},\\ \theta\in[0,2\pi)).

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