Identifique e esboce a superfície quádrica.
(4 z{2}=x{2}+4 y^{2})
(4 z{2}=x{2}+4 y^{2})
Passo 1
O enunciado fornece a equação da superfície
e pede que eu identifique que tipo de superfície é e faça um esboço (desenho mental/estrutura). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é homogênea de grau
(só termos quadráticos, sem termos lineares ou constantes). - A equação pode ser reescrita isolando termos, fato que ajudará a ver cortes e gerar o esboço.
O que se pede: - Identificar o tipo de superfície (nome geométrico).
- Descrever suas características (como cortes por planos coordenados, geratriz/linhas diretrizes, formato das seções transversais).
- Dar uma forma prática de esboçar (e, se possível, uma parametrização).
Passo 2
Reescrevendo a equação numa forma mais conveniente para classificação:
subtraindo
dos dois lados:
Dividindo toda equação por
(para obter coeficientes mais simples):
Observação importante (conceito usado aqui): uma equação quadrática homogênea como
descreve, quando os coeficientes não são todos do mesmo sinal, uma superfície que passa pela origem e que frequentemente é um cone cujas geratrizes são retas que passam pela origem. Aqui os sinais são
para
e
e
para
, ou seja, temos duas parcelas positivas e uma negativa — isso sugere uma superfície do tipo “cone duplo” (duas nappes simétricas em relação à origem), com eixo ao longo da variável cuja parcela tem sinal oposto (no caso, o eixo
).
Passo 3
Estudo das seções por planos
(fatia paralela ao plano
):
Fixando , com
dado, a equação torna-se
Fixando
Essa é a equação de uma elipse no plano
. Podemos escrever em forma padrão:
Assim, para cada
a seção é uma elipse centrada na origem do plano
com semi-eixo ao longo de
igual a
e semi-eixo ao longo de
igual a
. Isso mostra que, à medida que
aumenta, a elipse cresce linearmente — comportamento típico de um cone com elipses de seção transversal.
Passo 4
Comportamento em
e simetria:
- Para
a equação das seções dá
que implica
e
. Ou seja, a seção em
é apenas o ponto
— o vértice (ápice) do cone.
- Como a equação envolve
, a superfície é simétrica em relação ao plano : há duas nappes, uma para e outra para , idênticas entre si por reflexão.
Passo 5
Interseções com os planos coordenados (útil para esboço por linhas retas geradoras):
- Plano
: substituindo na equação original,
No plano
(o plano
) a superfície intersecta-se ao longo de duas retas
e
passando pela origem.
- Plano
: substituindo ,
No plano
(o plano
) a interseção são as retas
e
.
Essas retas mostram as diretrizes (geratrizes) do cone: a superfície é gerada por retas que saem do vértice e seguem nas direções dadas por essas interseções.
Essas retas mostram as diretrizes (geratrizes) do cone: a superfície é gerada por retas que saem do vértice e seguem nas direções dadas por essas interseções.
Passo 6
Parametrização conveniente (útil para entender e desenhar):
Escolhendo parâmetros (que servirá como coordenada
) e
, uma parametrização que gera toda a superfície é
Escolhendo parâmetros
Verificação rápida: substituindo na equação,
logo satisfaz a equação para todo
. Permitindo
positivo e negativo, obtemos as duas nappes do cone. Essa parametrização evidencia que, para cada
fixo,
descreve a elipse já encontrada com semi-eixos
e
.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (dicas práticas para fazer rápido na prova):
- Desenhe um sistema de eixos
, (horizontal) e (vertical). Marque o ponto origem. - No plano
desenhe as retas — estas são as geratrizes do cone vistas no plano . No plano desenhe as retas — geratrizes vistas no plano . - Essas retas determinam dois cones opostos com vértice na origem: uma parte para cima (
) e outra idêntica para baixo ( ). - Para dar “volume” ao esboço, desenhe algumas seções elípticas em planos
constante: por exemplo, para desenhe a elipse (extensão em até , em até ); para desenhe a elipse (extensão em até , em até ). Faça o mesmo para refletindo abaixo do plano . - Trace linhas suavemente ligando os contornos das elipses passando pela origem; isso dá a aparência do cone elíptico. Sombreie levemente para separar as nappes se quiser.
Pequeno reforço com pontos concretos (para marcar no desenho):
- Para
: , , , pertencem à superfície. - Para
: os mesmos pontos com : , , etc.
Passo 8
Resumo intuitivo e mental (para fixar antes da prova):
- A superfície é um cone duplo (duas nappes), com vértice na origem e eixo no sentido do eixo
. - Cada plano paralelo ao plano
corta em elipses que crescem linearmente com ; portanto é um cone elíptico (geralização do cone circular). - As interseções com os planos coordenados resultam em retas que são geratrizes visíveis no esboço:
(no plano ) e (no plano ).
Resposta
Cone duplo (cone elíptico) dado por
. Seções
são elipses
com semi-eixos
(eixo
) e
(eixo
); parametrização
(com
).