Identifique e esboce a superfície quádrica.
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície
e pede que se identifique a superfície e se faça um esboço (ou, pelo menos, que se descreva como esboçá‑la). Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Os coeficientes das quadráticas são
. - Não há termos lineares nem termo constante (a forma é homogênea de grau 2).
- O ponto
é solução óbvia (apex potencial da superfície).
As perguntas explícitas: identificar que tipo de quádricas é essa superfície e explicar/mostrar como esboçá‑la.
Passo 2
Colocar a equação numa forma mais clara: dividir ambos os lados por
para ver a estrutura.
ou seja
Esta forma deixa explícito que podemos escrever
Passo 3
Interpretação imediata: como aparece
igual a uma soma de termos quadráticos em
e
, temos
Isto descreve duas “folhas” simétricas em relação ao plano
: uma com
(a folha superior) e outra com
(a folha inferior). Quando a equação homogênea de grau 2 tem sinais mistos (coeficientes positivos e negativos) e lado direito zero, isso normalmente corresponde a um cone com vértice na origem — aqui, mais precisamente, um cone elíptico duplo (duas napas).
Passo 4
Mostrar as intersecções (traços) com planos coordenados — isto ajuda a esboçar:
- Plano
: substituindo na equação, o que só é satisfeito por . Logo a intersecção com é apenas o ponto (o vértice do cone). - Plano
: substituindo , Na seção (plano ) a curva é um par de retas passando pela origem. - Plano
: substituindo , Na seção (plano ) aparece o par de retas .
Essas retas são as “geratrizes” principais do cone nas seções coordenadas.
Passo 5
Traços por planos horizontais
(fixo e diferente de zero) são elipses. Para
temos
Dividindo por
,
ou seja, uma elipse com semi-eixo em
de comprimento
e semi-eixo em
de comprimento
. À medida que
cresce, as elipses aumentam linearmente de tamanho — característica típica de um cone.
Passo 6
Parâmetros e descrição geométrica útil para o esboço. Uma parametrização simples (útil para visualizar) é: tomar
e um ângulo
para o ponto na elipse de cada nível
:
com
e
. Para
obtém‑se a nappe superior; para
a nappe inferior. Isso mostra que as “direções” do cone não são circulares (raios dependem de
de forma elíptica), logo é um cone elíptico.
Passo 7
Como esboçar na prática (passo a passo gráfico, sem calculadora complicada):
- Desenhar os eixos
, (horizontais) e (vertical). - Marcar no plano
as retas (ou, equivalentemente, linhas que passam pela origem com inclinação tal que ao subir uma unidade em muda unidades). Essas duas retas desenham a “fatia” do cone no plano . - Marcar no plano
as retas (ao subir em , muda ). Essas dão a outra “fatia” do cone no plano . - Entre essas direções trace as curvas elípticas para alguns valores
(elipses com semi-eixos e ) e espelhe para . - O resultado é duas napas que se abrem em sentido positivo e negativo de
, com vértice em , cujas seções horizontais são elipses.
Passo 8
Classificação concisa: trata-se de um cone duplo (duas napas), mais precisamente um cone elíptico com eixo coincidente ao eixo
. A origem é o vértice; as geratrizes principais nas seções coordenadas são as retas
e
.
Resposta
Cone duplo (cone elíptico) com eixo no eixo
, vértice em
e equação equivalente
cuja parametrização é
.