Identifique e esboce a superfície quádrica.
9 x^{2}+4 y^{2}-36 z^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície
9x^{2}+4y^{2}-36z^{2}=0
e pede que se identifique a superfície e se faça um esboço (ou, pelo menos, que se descreva como esboçá‑la). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Os coeficientes das quadráticas são \,9,\;4,\;-36.
  • Não há termos lineares nem termo constante (a forma é homogênea de grau 2).
  • O ponto (0,0,0) é solução óbvia (apex potencial da superfície).
    As perguntas explícitas: identificar que tipo de quádricas é essa superfície e explicar/mostrar como esboçá‑la.

Passo 2

Colocar a equação numa forma mais clara: dividir ambos os lados por 36 para ver a estrutura.
\frac{9}{36}x^{2}+\frac{4}{36}y^{2}-\frac{36}{36}z^{2}=0
ou seja
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-z^{2}=0.
Esta forma deixa explícito que podemos escrever
z^{2}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}.

Passo 3

Interpretação imediata: como aparece z^{2} igual a uma soma de termos quadráticos em x e y, temos
z=\pm\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}}.
Isto descreve duas “folhas” simétricas em relação ao plano z=0: uma com z\ge0 (a folha superior) e outra com z\le0 (a folha inferior). Quando a equação homogênea de grau 2 tem sinais mistos (coeficientes positivos e negativos) e lado direito zero, isso normalmente corresponde a um cone com vértice na origem — aqui, mais precisamente, um cone elíptico duplo (duas napas).

Passo 4

Mostrar as intersecções (traços) com planos coordenados — isto ajuda a esboçar:
  • Plano z=0: substituindo z=0 na equação, \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=0,o que só é satisfeito por (x,y)=(0,0). Logo a intersecção com z=0 é apenas o ponto (0,0,0) (o vértice do cone).
  • Plano x=0: substituindo x=0, \frac{y^{2}}{9}-z^{2}=0\quad\Rightarrow\quad y^{2}=9z^{2}\quad\Rightarrow\quad y=\pm 3z.Na seção x=0 (plano yz) a curva é um par de retas y=\pm 3z passando pela origem.
  • Plano y=0: substituindo y=0, \frac{x^{2}}{4}-z^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4z^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2z.Na seção y=0 (plano xz) aparece o par de retas x=\pm 2z.
    Essas retas são as “geratrizes” principais do cone nas seções coordenadas.

Passo 5

Traços por planos horizontais z=z_{0} (fixo e diferente de zero) são elipses. Para z=z_{0}\neq0 temos
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=z_{0}^{2}.
Dividindo por z_{0}^{2},
\frac{x^{2}}{(2z_{0})^{2}}+\frac{y^{2}}{(3z_{0})^{2}}=1,
ou seja, uma elipse com semi-eixo em x de comprimento 2|z_{0}| e semi-eixo em y de comprimento 3|z_{0}|. À medida que |z_{0}| cresce, as elipses aumentam linearmente de tamanho — característica típica de um cone.

Passo 6

Parâmetros e descrição geométrica útil para o esboço. Uma parametrização simples (útil para visualizar) é: tomar t=z e um ângulo \theta para o ponto na elipse de cada nível z:
(x,y,z)=(2t\cos\theta,\;3t\sin\theta,\;t),
com t\in\mathbb{R} e \theta\in[0,2\pi). Para t>0 obtém‑se a nappe superior; para t<0 a nappe inferior. Isso mostra que as “direções” do cone não são circulares (raios dependem de \theta de forma elíptica), logo é um cone elíptico.

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo gráfico, sem calculadora complicada):
  1. Desenhar os eixos x, y (horizontais) e z (vertical).
  2. Marcar no plano xz as retas x=\pm 2z (ou, equivalentemente, linhas que passam pela origem com inclinação tal que ao subir uma unidade em z x muda 2 unidades). Essas duas retas desenham a “fatia” do cone no plano y=0.
  3. Marcar no plano yz as retas y=\pm 3z (ao subir 1 em z, y muda 3). Essas dão a outra “fatia” do cone no plano x=0.
  4. Entre essas direções trace as curvas elípticas para alguns valores z=z_{0}>0 (elipses com semi-eixos 2z_{0} e 3z_{0}) e espelhe para z<0.
  5. O resultado é duas napas que se abrem em sentido positivo e negativo de z, com vértice em (0,0,0), cujas seções horizontais são elipses.

Passo 8

Classificação concisa: trata-se de um cone duplo (duas napas), mais precisamente um cone elíptico com eixo coincidente ao eixo z. A origem é o vértice; as geratrizes principais nas seções coordenadas são as retas x=\pm 2z e y=\pm 3z.

Resposta

Cone duplo (cone elíptico) com eixo no eixo z, vértice em (0,0,0) e equação equivalente
z^{2}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9},
cuja parametrização é (x,y,z)=(2t\cos\theta,\,3t\sin\theta,\,t).

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