Identifique e esboce a superfície quádrica.
(16 z=y{2}-x{2})

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: identificar a superfície quádrica dada e esboçá-la. A informação fornecida é a equação
16z = y^{2} - x^{2}.

Passo 2

Primeiro passo simples: isolar z para ver a forma explícita da superfície. Dividindo por 16 obtemos
z = \frac{y^{2}-x^{2}}{16}.
Esta é agora uma fórmula explícita do tipo z = (algo em x,y), o que facilita analisar cortes e comportamento.

Passo 3

Analisar as curvas de nível (cortes por planos horizontais) para entender a forma geral. Para cada constante z=c obtemos
y^{2}-x^{2}=16c.
  • Se c>0, a equação y^{2}-x^{2}=16c é uma hipérbole com eixos principais ao longo do eixo y (abre para cima/baixo no plano z=c).
  • Se c<0, escrevendo - (x^{2}-y^{2})=16c vemos que é uma hipérbole que abre ao longo do eixo x (no plano z=c).
  • Se c=0, a equação é y^{2}-x^{2}=0, que se fatoriza como (y-x)(y+x)=0 — ou seja, duas retas y=x e y=-x no plano z=0.
Esses cortes horizontais mostram já uma característica típica: para diferentes alturas z aparecem hipérboles com orientações trocadas quando z muda de sinal.

Passo 4

Agora ver cortes por planos verticais para ver as curvas em direções coordenadas (parábolas).
  • Corte por x= constante. Fixando x=x_{0} obtemos
z=\frac{y^{2}-x_{0}^{2}}{16}=\frac{y^{2}}{16}-\frac{x_{0}^{2}}{16}.
Isto é, em cada plano vertical paralelo ao plano yz a curva é uma parábola em y que abre para cima (coeficiente de y^{2} positivo), deslocada para baixo por \dfrac{x_{0}^{2}}{16}.
  • Corte por y= constante. Fixando y=y_{0} obtemos
z=\frac{y_{0}^{2}-x^{2}}{16}=-\frac{x^{2}}{16}+\frac{y_{0}^{2}}{16},
ou seja, em cada plano vertical paralelo ao plano xz a curva é uma parábola em x que abre para baixo (coeficiente de x^{2} negativo).
Esses dois tipos de cortes (parábolas em direções opostas) são a marca de um “selo” ou “sela”: parábolas que abrem em direções opostas.

Passo 5

Comparar com formas canônicas: a superfície pode ser escrita como
z=\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{16}.
A forma padrão de um paraboloide hiperbólico (sela) é algo como
z=\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}},
com sinais opostos nos quadrados. Portanto a superfície dada é um paraboloide hiperbólico (também chamado de “sela” ou “saddle surface”). O vértice/sela está na origem (0,0,0).

Passo 6

Características importantes para o esboço (resumo útil para a prova):
  • Vértice em (0,0,0). A tangente linear em torno da origem é o plano z=0 (sela muda de concavidade ali).
  • Curvas horizontais z=c são hipérboles; no plano z=0 ficam as retas y=\pm x (assíntotas das hipérboles).
  • Corte por x=0: z=\dfrac{y^{2}}{16} — parábola voltada para +z. Assim a direção do eixo y tem concavidade para cima.
  • Corte por y=0: z=-\dfrac{x^{2}}{16} — parábola voltada para -z. Assim a direção do eixo x tem concavidade para baixo.
  • Para pontos de amostra: (0,4,1) e (0,-4,1) estão na superfície porque z=(4^{2}-0)/16=1. Também (4,0,-1) e (-4,0,-1) estão porque z=(0-4^{2})/16=-1.

Passo 7

Dicas passo-a-passo para esboçar (faça isso à mão num papel; é rápido e suficiente para prova):
  1. Desenhe os eixos x, y e z, com z vertical. Marque a origem.
  2. Trace no plano z=0 as linhas y=x e y=-x — são as interseções da sela com o plano horizontal. Elas mostram as direções em que a superfície corta o plano em linhas retas.
  3. No plano x=0 desenhe a parábola z=\dfrac{y^{2}}{16}: abre para cima, com valor z=1 em y=\pm4. Marque esses pontos e desenhe a forma parabólica.
  4. No plano y=0 desenhe a parábola z=-\dfrac{x^{2}}{16}: abre para baixo, com z=-1 em x=\pm4.
  5. Entre essas curvas conecte suavemente – a superfície sobe quando se vai na direção \pm y e desce quando se vai na direção \pm x, produzindo a forma de sela. Se quiser um esboço mais “gradeado”, desenhe linhas retas pertencentes à superfície (ver Passo 8) para enfatizar o caráter regido por retas.

Passo 8

Observação útil (opcional, mas ótima para um esboço rápido): a superfície é duplamente regrada — contém duas famílias de retas. Uma parametrização que mostra isso é: definir
u=\frac{y+x}{4},\qquad v=\frac{y-x}{4}.
Então
x=2(u-v),\qquad y=2(u+v),\qquad z=uv.
Fixando u (ou v) a variação em v (ou u) descreve uma reta na superfície. Isso permite desenhar a sela como uma rede de retas inclinadas — um modo prático e rápido de esboçar a forma.

Passo 9

Resumo pedagógico e encorajamento: a equação apresenta sinais opostos nos termos quadráticos em x e y, o que é o “sinal” de que se trata de uma sela (paraboloide hiperbólico). Para a prova, lembrar: cortes horizontais → hipérboles, cortes por x= constante e y= constante → parábolas com aberturas opostas; isso basta para identificar e desenhar um esboço convincente. Você consegue — desenhe os cortes principais e ligue-os suavemente.

Resposta

Paraboloide hiperbólico (sela), dada por z=\frac{y^{2}-x^{2}}{16}.
Esboço: vértice em (0,0,0); cortes x=0 dão z=\dfrac{y^{2}}{16} (parábola para cima), cortes y=0 dão z=-\dfrac{x^{2}}{16} (parábola para baixo); cortes horizontais z=c são hipérboles (para c=0 as retas y=\pm x).

Exercícios relacionados