Identifique e esboce a superfície quádrica.
(16 z=y{2}-x{2})
(16 z=y{2}-x{2})
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: identificar a superfície quádrica dada e esboçá-la. A informação fornecida é a equação
Passo 2
Primeiro passo simples: isolar
para ver a forma explícita da superfície. Dividindo por
obtemos
Esta é agora uma fórmula explícita do tipo
(algo em
), o que facilita analisar cortes e comportamento.
Passo 3
Analisar as curvas de nível (cortes por planos horizontais) para entender a forma geral. Para cada constante
obtemos
- Se
, a equação é uma hipérbole com eixos principais ao longo do eixo (abre para cima/baixo no plano ). - Se
, escrevendo vemos que é uma hipérbole que abre ao longo do eixo (no plano ). - Se
, a equação é , que se fatoriza como — ou seja, duas retas e no plano .
Esses cortes horizontais mostram já uma característica típica: para diferentes alturas
aparecem hipérboles com orientações trocadas quando
muda de sinal.
Passo 4
Agora ver cortes por planos verticais para ver as curvas em direções coordenadas (parábolas).
- Corte por
constante. Fixando obtemos
Isto é, em cada plano vertical paralelo ao plano
a curva é uma parábola em
que abre para cima (coeficiente de
positivo), deslocada para baixo por
.
- Corte por
constante. Fixando obtemos
ou seja, em cada plano vertical paralelo ao plano
a curva é uma parábola em
que abre para baixo (coeficiente de
negativo).
Esses dois tipos de cortes (parábolas em direções opostas) são a marca de um “selo” ou “sela”: parábolas que abrem em direções opostas.
Passo 5
Comparar com formas canônicas: a superfície pode ser escrita como
A forma padrão de um paraboloide hiperbólico (sela) é algo como
com sinais opostos nos quadrados. Portanto a superfície dada é um paraboloide hiperbólico (também chamado de “sela” ou “saddle surface”). O vértice/sela está na origem
.
Passo 6
Características importantes para o esboço (resumo útil para a prova):
- Vértice em
. A tangente linear em torno da origem é o plano (sela muda de concavidade ali). - Curvas horizontais
são hipérboles; no plano ficam as retas (assíntotas das hipérboles). - Corte por
: — parábola voltada para . Assim a direção do eixo tem concavidade para cima. - Corte por
: — parábola voltada para . Assim a direção do eixo tem concavidade para baixo. - Para pontos de amostra:
e estão na superfície porque . Também e estão porque .
Passo 7
Dicas passo-a-passo para esboçar (faça isso à mão num papel; é rápido e suficiente para prova):
- Desenhe os eixos
, e , com vertical. Marque a origem. - Trace no plano
as linhas e — são as interseções da sela com o plano horizontal. Elas mostram as direções em que a superfície corta o plano em linhas retas. - No plano
desenhe a parábola : abre para cima, com valor em . Marque esses pontos e desenhe a forma parabólica. - No plano
desenhe a parábola : abre para baixo, com em . - Entre essas curvas conecte suavemente – a superfície sobe quando se vai na direção
e desce quando se vai na direção , produzindo a forma de sela. Se quiser um esboço mais “gradeado”, desenhe linhas retas pertencentes à superfície (ver Passo 8) para enfatizar o caráter regido por retas.
Passo 8
Observação útil (opcional, mas ótima para um esboço rápido): a superfície é duplamente regrada — contém duas famílias de retas. Uma parametrização que mostra isso é: definir
Então
Fixando
(ou
) a variação em
(ou
) descreve uma reta na superfície. Isso permite desenhar a sela como uma rede de retas inclinadas — um modo prático e rápido de esboçar a forma.
Passo 9
Resumo pedagógico e encorajamento: a equação apresenta sinais opostos nos termos quadráticos em
e
, o que é o “sinal” de que se trata de uma sela (paraboloide hiperbólico). Para a prova, lembrar: cortes horizontais → hipérboles, cortes por
constante e
constante → parábolas com aberturas opostas; isso basta para identificar e desenhar um esboço convincente. Você consegue — desenhe os cortes principais e ligue-os suavemente.
Resposta
Paraboloide hiperbólico (sela), dada por
Esboço: vértice em
; cortes
dão
(parábola para cima), cortes
dão
(parábola para baixo); cortes horizontais
são hipérboles (para
as retas
).