Identifique e esboce a superfície quádrica.
(z=y{2}-x{2})
(z=y{2}-x{2})
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
O que é pedido:
- Identificar que tipo de superfície quádrica essa equação representa.
- Esboçar (desenhar mentalmente ou no papel) a forma geométrica dessa superfície.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação explícita relaciona
com e como uma diferença de quadrados: é quadrática em e em . - Não há termos mistos
, nem termos lineares em ou , nem constante adicional.
Passo 2
Entendendo o que olhar para identificar a superfície (uma mini-aula rápida e prática).
- Uma superfície quádrica é dada por uma equação polinomial de grau 2 em
. Para classificar, é muito útil olhar as secções (interseções) por planos simples: planos verticais ou e planos horizontais . - Também é útil comparar com formas padrão:
- Paraboloide elíptico:
(mesmo sinal nas duas variáveis). - Paraboloide hiperbólico (sela):
(sinais opostos).
- Paraboloide elíptico:
- Então, ao ver uma diferença de quadrados como
, suspeitamos de uma superfície do tipo “sela” (paraboloide hiperbólico). Vamos verificar isso estudando secções.
Passo 3
Secções por planos verticais do tipo
constante (como aula prática).
- Fixe
. A equação vira - Esta é uma parábola no plano
(eixo horizontal e vertical nesse plano), que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo). O vértice dessa parábola está em . - Exemplos concretos:
- Para
: — parábola com vértice em abrindo para cima. - Para
: — mesma parábola deslocada para baixo 1 unidade.
- Para
Interpretação: ao atravessar a superfície com um plano vertical paralelo ao plano
(ou seja,
constante), obtém-se sempre uma parábola que abre para cima. Ótimo — uma direção “parabólica para cima”.
Passo 4
Secções por planos verticais do tipo
constante.
- Fixe
. A equação vira - Esta é uma parábola no plano
, mas agora o coeficiente de é negativo: a parábola abre para baixo (o termo domina). - Exemplos:
- Para
: — parábola com vértice em abrindo para baixo. - Para
: — mesma parábola deslocada para cima 1 unidade.
- Para
Interpretação: ao cortar com planos verticais paralelos a
, obtemos parábolas que abrem para baixo. Assim temos parábolas de orientação oposta nas direções
e
: uma abre para cima, a outra para baixo — característica típica de uma sela.
Passo 5
Secções horizontais por
constante (curvas de nível) — outra aula prática.
- Fixe
. Então - Isso é uma hipérbole no plano
, de várias formas dependendo de : - Se
: a hipérbole tem ramos abertos ao longo do eixo (porque ). - Se
: escrevendo obtemos , hipérbole com ramos abertos ao longo do eixo . - Se
: dá as duas retas (caso degenerado).
- Se
- Exemplos concretos:
-
(hipérbole com ramos ao longo dos ). -
ou (hipérbole com ramos ao longo dos ).
-
Interpretação: curvas de nível são hipérbolas que mudam orientação conforme
muda de sinal. Isso reforça a ideia de que a superfície tem formato de sela com curvaturas opostas nas duas direções principais.
Passo 6
Classificando formalmente o ponto crítico na origem (mini-aula com derivadas, sem complicar).
- Considere
. O ponto é crítico porque . - A Hessiana de
é - O determinante da Hessiana é
. Pelo teste de segunda derivada para funções de duas variáveis, isso indica que é um ponto de sela. - Conclusão técnica: a superfície tem um ponto de sela na origem — compatible com “paraboloide hiperbólico”.]
Passo 7
Representação paramétrica e linhas de curvatura (útil para esboçar).
- Podemos parametrizar a superfície por parâmetros
: - Linhas de coordenadas (fixando
ou ) já vimos que produzem parábolas verticais opostas: isso é exatamente o que desenhar no esboço deve mostrar — uma rede de parábolas perpendiculares que forma a sela.
Passo 8
Como esboçar passo a passo (instrução prática para fazer no papel — siga assim):
- Desenhe os três eixos
(horizontal para a direita), (horizontal para cima da folha, ou para a esquerda dependendo da convenção) e (vertical). Marque a origem. - Desenhe a parábola do plano
: em torno da origem, desenhe (abre para cima). Isso mostra a curvatura “para cima” ao longo da direção . - Desenhe a parábola do plano
: desenhe (abre para baixo). Isso mostra a curvatura “para baixo” ao longo da direção . - Marque as linhas de nível no plano
: desenhe as retas ; isso ajuda a ver a crista e o vale da sela. - Opcional: desenhe uma hipérbole para
(ramos voltados para ) e para (ramos voltados para ) como curvas de contorno acima/abaixo da origem. - Ligue suavemente essas curvas para formar a superfície: ela sobe para cima quando
e desce quando . O aspecto geral é o de uma sela central na origem.
Dica visual: imagine uma sela de cavalo apoiada no ponto
: em uma direção (eixo
) a sela curva para cima; na direção perpendicular (eixo
) ela curva para baixo.
Passo 9
Resumo didático final (para colar na folha do caderno antes da prova):
- A equação
é um paraboloide hiperbólico (sela). - Secções:
const → parábolas que abrem para cima; const → parábolas que abrem para baixo; const → hipérboles (ou retas se ). - Origem é um ponto de sela (Hessiana tem determinante negativo).
Resposta
Identificação: Paraboloide hiperbólico (sela), dada por
.\nEsboço: superfície em forma de sela com parábolas
em
(abre para cima) e
em
(abre para baixo); curvas de nível
são hipérboles (para
) e para
são as retas
.