Identifique e esboce a superfície quádrica.
(z=y{2}-x{2})

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
z = y^{2} - x^{2}.
O que é pedido:
  • Identificar que tipo de superfície quádrica essa equação representa.
  • Esboçar (desenhar mentalmente ou no papel) a forma geométrica dessa superfície.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação explícita relaciona z com x e y como uma diferença de quadrados: z é quadrática em x e em y.
  • Não há termos mistos xy, nem termos lineares em x ou y, nem constante adicional.

Passo 2

Entendendo o que olhar para identificar a superfície (uma mini-aula rápida e prática).
  • Uma superfície quádrica é dada por uma equação polinomial de grau 2 em x,y,z. Para classificar, é muito útil olhar as secções (interseções) por planos simples: planos verticais x=\text{const} ou y=\text{const} e planos horizontais z=\text{const}.
  • Também é útil comparar com formas padrão:
    • Paraboloide elíptico: \,z = ax^{2}+by^{2} (mesmo sinal nas duas variáveis).
    • Paraboloide hiperbólico (sela): \,z = ax^{2} - by^{2} (sinais opostos).
  • Então, ao ver uma diferença de quadrados como y^{2}-x^{2}, suspeitamos de uma superfície do tipo “sela” (paraboloide hiperbólico). Vamos verificar isso estudando secções.

Passo 3

Secções por planos verticais do tipo x= constante (como aula prática).
  • Fixe x=x_{0}. A equação vira z = y^{2} - x_{0}^{2}.
  • Esta é uma parábola no plano (y,z) (eixo y horizontal e z vertical nesse plano), que abre para cima (porque o coeficiente de y^{2} é positivo). O vértice dessa parábola está em y=0,\; z=-x_{0}^{2}.
  • Exemplos concretos:
    • Para x_{0}=0: z = y^{2} — parábola com vértice em (y,z)=(0,0) abrindo para cima.
    • Para x_{0}=1: z = y^{2} - 1 — mesma parábola deslocada para baixo 1 unidade.
Interpretação: ao atravessar a superfície com um plano vertical paralelo ao plano y\!z (ou seja, x= constante), obtém-se sempre uma parábola que abre para cima. Ótimo — uma direção “parabólica para cima”.

Passo 4

Secções por planos verticais do tipo y= constante.
  • Fixe y=y_{0}. A equação vira z = y_{0}^{2} - x^{2}.
  • Esta é uma parábola no plano (x,z), mas agora o coeficiente de x^{2} é negativo: a parábola abre para baixo (o termo -x^{2} domina).
  • Exemplos:
    • Para y_{0}=0: z = -x^{2} — parábola com vértice em (x,z)=(0,0) abrindo para baixo.
    • Para y_{0}=1: z = 1 - x^{2} — mesma parábola deslocada para cima 1 unidade.
Interpretação: ao cortar com planos verticais paralelos a x\!z, obtemos parábolas que abrem para baixo. Assim temos parábolas de orientação oposta nas direções x e y: uma abre para cima, a outra para baixo — característica típica de uma sela.

Passo 5

Secções horizontais por z= constante (curvas de nível) — outra aula prática.
  • Fixe z=c. Então y^{2} - x^{2} = c.
  • Isso é uma hipérbole no plano xy, de várias formas dependendo de c:
    • Se c>0: a hipérbole tem ramos abertos ao longo do eixo y (porque y^{2}/c - x^{2}/c = 1).
    • Se c<0: escrevendo -c>0 obtemos x^{2} - y^{2} = -c, hipérbole com ramos abertos ao longo do eixo x.
    • Se c=0: y^{2}-x^{2}=0 dá as duas retas y=\pm x (caso degenerado).
  • Exemplos concretos:
    • z=1:\; y^{2}-x^{2}=1 (hipérbole com ramos ao longo dos y).
    • z=-1:\; y^{2}-x^{2}=-1 ou x^{2}-y^{2}=1 (hipérbole com ramos ao longo dos x).
Interpretação: curvas de nível são hipérbolas que mudam orientação conforme z muda de sinal. Isso reforça a ideia de que a superfície tem formato de sela com curvaturas opostas nas duas direções principais.

Passo 6

Classificando formalmente o ponto crítico na origem (mini-aula com derivadas, sem complicar).
  • Considere f(x,y)=y^{2}-x^{2}. O ponto (0,0) é crítico porque \nabla f(0,0)=(0,0).
  • A Hessiana de f é H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.
  • O determinante da Hessiana é \det H = (-2)\cdot 2 - 0 = -4 < 0. Pelo teste de segunda derivada para funções de duas variáveis, isso indica que (0,0) é um ponto de sela.
  • Conclusão técnica: a superfície tem um ponto de sela na origem — compatible com “paraboloide hiperbólico”.]

Passo 7

Representação paramétrica e linhas de curvatura (útil para esboçar).
  • Podemos parametrizar a superfície por parâmetros (u,v)\equiv(x,y): \mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\;v,\;v^{2}-u^{2}\bigr).
  • Linhas de coordenadas (fixando u ou v) já vimos que produzem parábolas verticais opostas: isso é exatamente o que desenhar no esboço deve mostrar — uma rede de parábolas perpendiculares que forma a sela.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (instrução prática para fazer no papel — siga assim):
  1. Desenhe os três eixos x (horizontal para a direita), y (horizontal para cima da folha, ou para a esquerda dependendo da convenção) e z (vertical). Marque a origem.
  2. Desenhe a parábola do plano x=0: em torno da origem, desenhe z=y^{2} (abre para cima). Isso mostra a curvatura “para cima” ao longo da direção y.
  3. Desenhe a parábola do plano y=0: desenhe z=-x^{2} (abre para baixo). Isso mostra a curvatura “para baixo” ao longo da direção x.
  4. Marque as linhas de nível no plano z=0: desenhe as retas y=\pm x; isso ajuda a ver a crista e o vale da sela.
  5. Opcional: desenhe uma hipérbole para z=1 (ramos voltados para y) e para z=-1 (ramos voltados para x) como curvas de contorno acima/abaixo da origem.
  6. Ligue suavemente essas curvas para formar a superfície: ela sobe para cima quando |y|>|x| e desce quando |x|>|y|. O aspecto geral é o de uma sela central na origem.
Dica visual: imagine uma sela de cavalo apoiada no ponto (0,0,0): em uma direção (eixo y) a sela curva para cima; na direção perpendicular (eixo x) ela curva para baixo.

Passo 9

Resumo didático final (para colar na folha do caderno antes da prova):
  • A equação \;z = y^{2} - x^{2}\; é um paraboloide hiperbólico (sela).
  • Secções: x= const → parábolas que abrem para cima; y= const → parábolas que abrem para baixo; z= const → hipérboles (ou retas se z=0).
  • Origem é um ponto de sela (Hessiana tem determinante negativo).

Resposta

Identificação: Paraboloide hiperbólico (sela), dada por \;z = y^{2} - x^{2}.\nEsboço: superfície em forma de sela com parábolas z=y^{2} em x=0 (abre para cima) e z=-x^{2} em y=0 (abre para baixo); curvas de nível y^{2}-x^{2}=c são hipérboles (para c\neq0) e para c=0 são as retas y=\pm x.

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