Identifique e esboce as superfícies quádricas:
z^2+4 z=x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádricas dada por z^2+4z = x^2+1. O conteúdo é superfícies quádricas e vamos precisar reorganizar a equação, completar o quadrado e comparar com formas padrão.

Passo 2

Reorganizamos a equação levando todos os termos para um lado: z^2+4z - x^2-1 = 0

Passo 3

Para colocar em forma padrão, completamos o quadrado em z:
z^2+4z = (z+2)^2-4
Substituindo na equação:
(z+2)^2-4 - x^2 -1 = 0
Logo:
(z+2)^2 - x^2 = 5

Passo 4

Dividimos ambos os lados por 5 e escrevemos na forma padrão de hipérbole:
(z+2)^25 - x^25 = 1

Passo 5

Nesta forma vemos que y não aparece, logo a seção em qualquer plano y = const é a hipérbole (z+2)^2/5 - x^2/5 =1. Isso caracteriza um cilindro hiperbólico, pois a hipérbole se estende de forma idêntica para todo y.

Passo 6

Para esboçar: no plano y=0 temos uma hipérbole centrada em (x,z)=(0,-2), com vértices em z+2=pmraiz5. Depois, basta “estender” essa curva ao longo do eixo y, desenhando linhas paralelas a y.

Resposta

A superfície é um cilindro hiperbólico definido por (z+2)^25-x^25=1, ou seja, uma hipérbole no plano y=const extrudada ao longo do eixo y.

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