Identifique e esboce as superfícies quádricas:
2 z^2+x^2-4 x=-4+y^2

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas dada por
2z^2 + x^2 - 4x = -4 + y^2
Estamos trabalhando com classificação de superfícies quádricas. Para resolver precisamos completar quadrados, reescrever em forma padrão e reconhecer o tipo (elíptico, parabólico, hiperbólico, cone etc.).

Passo 2

Primeiro, vou isolar todos os termos num lado e agrupar em x de modo a completar o quadrado:
Começo trazendo o -4) para o lado esquerdo:
2z^2 + x^2 - 4x + 4 = y^2
Agora dentro do lado esquerdo completo o quadrado em x. Note que x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2. Então a equação torna-se:
2z^2 + (x - 2)^2 = y^2

Passo 3

Reescrevo de forma a comparar com as formas canônicas de quadricas. Passo tudo para um lado:
y^2 - (x-2)^2 - 2z^2 = 0
Essa é exatamente a equação geral de um cone duplo (quadrático homogeneizado) deslocado, pois não há termos lineares em y nem termo constante fora do zero. A assinatura dos coeficientes é +1, -1, -2, o que caracteriza um cone elíptico duplo.

Passo 4

Concluímos que a superfície é um cone duplo elíptico. O vértice (ponto onde todos os geratrizes se encontram) é dado pelo centro do quadrado completado em x, ou seja, (2,0,0). O eixo principal do cone é paralelo ao eixo y, pois é a única variável que aparece isolada com coeficiente positivo no lado positivo da equação.
Para esboçar:
  • Marque o vértice em (2,0,0).
  • Para cada valor fixo de y, a seção transversa é a elipse com equação (x-2)^2 + 2z^2 = y^2. Quanto maior |y|, maior a elipse.
  • O cone se abre nos dois sentidos de y (positivo e negativo), formando um cone duplo.

Passo 5

A superfície é portanto um cone duplo elíptico de vértice em (2,0,0) e eixo paralelo ao eixo y.

Resposta

y^2 - (x-2)^2 - 2z^2 = 0: cone duplo elíptico com vértice em (2,0,0) e eixo paralelo a y.

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