Identifique e esboce as superfícies quádricas:
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádricas dada por
Estamos trabalhando com classificação de superfícies quádricas. Para resolver precisamos completar quadrados, reescrever em forma padrão e reconhecer o tipo (elíptico, parabólico, hiperbólico, cone etc.).
Passo 2
Primeiro, vou isolar todos os termos num lado e agrupar em
de modo a completar o quadrado:
Começo trazendo o
para o lado esquerdo:
Agora dentro do lado esquerdo completo o quadrado em
. Note que
. Então a equação torna-se:
Passo 3
Reescrevo de forma a comparar com as formas canônicas de quadricas. Passo tudo para um lado:
Essa é exatamente a equação geral de um cone duplo (quadrático homogeneizado) deslocado, pois não há termos lineares em
nem termo constante fora do zero. A assinatura dos coeficientes é
, o que caracteriza um cone elíptico duplo.
Passo 4
Concluímos que a superfície é um cone duplo elíptico. O vértice (ponto onde todos os geratrizes se encontram) é dado pelo centro do quadrado completado em
, ou seja,
. O eixo principal do cone é paralelo ao eixo
, pois é a única variável que aparece isolada com coeficiente positivo no lado positivo da equação.
Para esboçar:
- Marque o vértice em
. - Para cada valor fixo de
, a seção transversa é a elipse com equação . Quanto maior , maior a elipse. - O cone se abre nos dois sentidos de
(positivo e negativo), formando um cone duplo.
Passo 5
A superfície é portanto um cone duplo elíptico de vértice em
e eixo paralelo ao eixo
.