Identifique e esboce as superfícies quádricas:
x^2-3 x-2 y^2+4=z^2+y

Passo 1

Temos a superfície dada por x^2 - 3x - 2y^2 + 4 = z^2 + y. O conteúdo é identificação de superfícies quádricas e vamos precisar completar quadrados em x e y e depois analisar os sinais para classificar o tipo.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x:
x^2 - 3x = (x - tfrac32)^2 - tfrac94
E em y:
-2y^2 - y = -2l(y + tfrac14r)^2 + tfrac18
Substituindo na equação e reunindo constantes, obtemos
(x - tfrac32)^2 - 2(y + tfrac14)^2 - z^2 + tfrac158 = 0

Passo 3

Passamos tudo para um lado e deixamos o lado direito igual a 1. Primeiro isolamos os quadrados negativos:
- (x - tfrac32)^2 + 2(y + tfrac14)^2 + z^2 = tfrac158
Em seguida dividimos por 15/8:
(y + tfrac14)^215/16 + z^215/8 - (x - tfrac32)^215/8 = 1

Passo 4

Agora observamos os sinais dos três termos: dois positivos (para y e z) e um negativo (para x). Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, cujo eixo principal é paralelo ao eixo onde está o sinal negativo — aqui o eixo x.

Passo 5

Para esboçar, note que o centro está em (x,y,z) = (tfrac32, -tfrac14, 0). Se fixarmos x = tfrac32, obtemos uma seção elíptica no plano (y,z). Se fixarmos y = -tfrac14, surge uma hipérbole no plano (x,z). Com essas seções e o eixo principal paralelo a x, traçamos o formato clássico de hiperbolóide de uma folha.

Passo 6

Em resumo, é um hiperbolóide de uma folha deslocado, de centro (tfrac32, -tfrac14, 0) e eixo principal paralelo ao eixo x.

Resposta

Hiperbolóide de uma folha centrado em (tfrac32, -tfrac14, 0) com eixo principal paralelo ao eixo x.

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