Questão 4) (Valor: 1,2 ponto) Explique por que a função dada é contínua em :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que a função definida por partes é contínua em todos os números reais, menos no 3. O conteúdo envolvido aqui é continuidade de funções, especialmente funções definidas por partes. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar isso nos diferentes intervalos onde a função está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade de uma função. Uma função é contínua num ponto se:
Ela está definida nesse ponto.
O limite quando a gente se aproxima desse ponto por valores menores é igual ao limite por valores maiores.
Esse limite é igual ao valor da função no ponto.
Como estamos olhando para a continuidade em R - 3, a gente não precisa se preocupar com x = 3. Então, vamos verificar a continuidade nos outros pontos importantes, que no nosso caso é o x = 0.
Passo 3
Vamos olhar para a função f(x):
f(x)=ll x^2, & se x <= 0 x^3-2x, & se 0 < x < 3 x^3-8, & se x >= 3
Para x < 0 e x > 0 (mas menos que 3), e x > 3, as funções são polinômios, e como a gente sabe, polinômios são contínuos em todo lugar. Então, nesses intervalos, a função está tranquila, contínua mesmo.
Passo 4
Agora, vamos verificar no ponto onde a definição da função muda, que é em x = 0.
Primeiro, calculamos o limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda (x to 0^-):
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- x^2 = 0
Depois, o limite quando x se aproxima de 0 pela direita (x to 0^+):
limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (x^3 - 2x) = 0 - 0 = 0
E o valor da função em 0 é:
f(0) = 0^2 = 0
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais ao valor da função em 0, a função é contínua nesse ponto.
Resposta
Assim, concluímos que a função f(x) é contínua em todo R exceto em x = 3, onde há uma possível descontinuidade.