Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
(4)
, em torno do eixo
.
(4)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o método da casca cilíndrica para encontrar o volume do sólido formado quando a região limitada por $ y = \frac{1}{x} $, $ x = 1 $, $ x = 2 $ e $ y = 0 $ é girada em torno do eixo $ x $.
Matéria envolvida: Cálculo integral, especificamente o método das cascas cilíndricas.
O que vamos precisar: Entender como aplicar o método das cascas cilíndricas para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. Temos a curva $ y = \frac{1}{x} $, que é uma hipérbole. As linhas $ x = 1 $ e $ x = 2 $ delimitam essa curva entre esses valores de $ x $, e $ y = 0 $ é o eixo $ x $. Quando giramos essa região em torno do eixo $ x $, formamos um sólido.
Passo 3
No método da casca cilíndrica, a ideia é imaginar fatias verticais da região que, ao girar, formam cascas cilíndricas. Cada casca tem:
- Altura: A diferença entre a função superior e a inferior. Aqui, a função superior é $ y = \frac{1}{x} $ e a inferior é $ y = 0 $, então a altura é $ \frac{1}{x} $.
- Raio: A distância da casca até o eixo de rotação. Como estamos girando em torno do eixo $ x $, o raio é simplesmente $ y $.
- Espessura: Um infinitesimal $ dx $.
Passo 4
A fórmula do volume usando o método da casca cilíndrica é:
Aplicando isso ao nosso caso:
- Raio: $ y = \frac{1}{x} $
- Altura: $ x $ varia de 1 a 2
Então, a expressão fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, calculamos a integral:
Passo 7
Multiplicamos pelo $ 2\pi $:
Resposta
O volume do sólido gerado é $ 2\pi $ unidades cúbicas.