Identifique qual espaço vetorial V em que W está contido e julgue se W é subespaço vetorial de V.
(a) W=(x, y) in R^2 ; y=3 x;

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y)inR^2 : y = 3x
e pede (i) identificar o espaço vetorial V que contém W e (ii) verificar se W é subespaço de V. Vamos usar as definições de espaço ambiente e de subespaço vetorial (fechamento em soma e multiplicação escalar, além de não-vazio).

Passo 2

O conjunto W é descrito como pares (x,y) com x,y números reais, logo o espaço ambiente natural é
V = R^2

Passo 3

Para W ser subespaço de R^2 precisamos conferir:
1. Não-vazio: basta ver que (0,0)in W pois 0=3cdot0.
2. Fechamento em soma: se (x1,3x1) e (x2,3x2) estão em W, então
(x1,3x1)+(x2,3x2) = (,x1+x2,;3x1+3x2) = (,x1+x2,;3(x1+x2))in W
3. Fechamento em multiplicação escalar: para qualquer lambdainR e (x,3x)in W,
lambda,(x,3x) = (lambda x,;3lambda x) = (lambda x,;3(lambda x))in W
Como essas propriedades valem, W é subespaço de R^2.

Resposta

O espaço ambiente é V=R^2, e W é subespaço vetorial de V.

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