Verifique se o conjunto V, com as operações indicadas, é um R-espaço vetorial.
(b) V=P3(R), opoerações usuais;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = P3(R), o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes reais, equipado com a soma e multiplicação escalar usuais, é um R-espaço vetorial. Vamos checar os axiomas de espaço vetorial para essas operações.

Passo 2

Fechamento sob soma e multiplicação escalar.
Sejam
p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3, q(x)=b0+b1x+b2x^2+b3x^3,
com ai,biinR, e seja alphainR. Então
(p+q)(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x^2+(a3+b3)x^3,
que é um polinômio de grau <=3, logo p+qin V.
Também
(alpha p)(x)=(alpha a0)+(alpha a1)x+(alpha a2)x^2+(alpha a3)x^3,
que tem grau <=3, logo alpha pin V. Assim, as operações são internas.

Passo 3

Axiomas da adição em V.
  1. Comutatividade: p+q=q+p, pois soma de polinômios é soma coeficiente a coeficiente em R.
  2. Associatividade: (p+q)+r = p+(q+r) segue da associatividade em R.
  3. Existência do vetor zero: o polinômio 0(x)=0 satisfaz p+0=p.
  4. Existência de inverso aditivo: para cada p, o polinômio -p tem coeficientes -ai e p+(-p)=0.

Passo 4

Axiomas da multiplicação escalar.
  1. Identidade escalar: 1cdot p = p.
  2. Associatividade de escalares: (alphabeta)p = alpha(beta p).
  3. Distributividade sobre soma de vetores:
alpha(p+q)=alpha p + alpha q
  1. Distributividade sobre soma de escalares:
(alpha+beta)p = alpha p + beta p
Todas seguem diretamente das propriedades distributivas e associativas em R.

Resposta

O conjunto P3(R) com soma e multiplicação escalar usuais satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Portanto, é um R-espaço vetorial.

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