Verifique se o conjunto
, com as operações indicadas, é um
-espaço vetorial.
(b)
, opoerações usuais;
(b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes reais, equipado com a soma e multiplicação escalar usuais, é um
-espaço vetorial. Vamos checar os axiomas de espaço vetorial para essas operações.
Passo 2
Fechamento sob soma e multiplicação escalar.
Sejam
Sejam
com
, e seja
. Então
que é um polinômio de grau
, logo
.
Também
Também
que tem grau
, logo
. Assim, as operações são internas.
Passo 3
Axiomas da adição em
.
- Comutatividade:
, pois soma de polinômios é soma coeficiente a coeficiente em . - Associatividade:
segue da associatividade em . - Existência do vetor zero: o polinômio
satisfaz . - Existência de inverso aditivo: para cada
, o polinômio tem coeficientes e .
Passo 4
Axiomas da multiplicação escalar.
- Identidade escalar:
. - Associatividade de escalares:
. - Distributividade sobre soma de vetores:
- Distributividade sobre soma de escalares:
Todas seguem diretamente das propriedades distributivas e associativas em
.
Resposta
O conjunto
com soma e multiplicação escalar usuais satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Portanto, é um
-espaço vetorial.