Verifique se o conjunto , com as operações indicadas, é um -espaço vetorial.
(c) , opoerações usuais;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
das matrizes reais , com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em , satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre . Para isso, vamos usar a definição de espaço vetorial, que requer fechamento sob as operações e oito propriedades (associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso para a soma, duas distributividades, compatibilidade e unidade escalar).
Passo 2
Fechamento sob soma e multiplicação escalar.
Sejam e . Então a soma é a matriz cujas entradas são somas das entradas correspondentes de e , e é a matriz cujas entradas são vezes as entradas de . Como é fechado para soma e multiplicação, todas as entradas de e de continuam em . Logo
ou seja, há fechamento.
Passo 3
Propriedades da adição em .
Comutatividade: para quaisquer ,
porque a soma de números reais é comutativa em cada entrada.
Associatividade: para quaisquer ,
Elemento neutro: existe a matriz zero
tal que A+0 = A.
Inverso aditivo: para cada A existe -A (multiplicação por -1 em cada entrada) satisfazendo
A + (-A) = 0
Passo 4
Propriedades envolvendo escalar.
Para quaisquer lambda,muinR e A,Bin M3(R) vale:
lambda,(A+B) = lambda A + lambda B,
(lambda + mu),A = lambda A + mu A,
(lambda,mu),A = lambda,(mu A),
1cdot A = A
Todas decorrem das propriedades usuais de distributividade e associatividade em R, aplicadas entrada a entrada.
Resposta
Sim. M3(R) com soma e multiplicação por escalar usuais satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.