Verifique se o conjunto V, com as operações indicadas, é um R-espaço vetorial.
(c) V=M3(R), opoerações usuais;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = M3(R)
das matrizes reais 3times3, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em R, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos usar a definição de espaço vetorial, que requer fechamento sob as operações e oito propriedades (associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso para a soma, duas distributividades, compatibilidade e unidade escalar).

Passo 2

Fechamento sob soma e multiplicação escalar.
Sejam A,Bin M3(R) e lambdainR. Então a soma A+B é a matriz cujas entradas são somas das entradas correspondentes de A e B, e lambda A é a matriz cujas entradas são lambda vezes as entradas de A. Como R é fechado para soma e multiplicação, todas as entradas de A+B e de lambda A continuam em R. Logo
A+Bin M3(R), lambda Ain M3(R),
ou seja, há fechamento.

Passo 3

Propriedades da adição em M3(R).
Comutatividade: para quaisquer A,B,
A+B = B+A
porque a soma de números reais é comutativa em cada entrada.
Associatividade: para quaisquer A,B,C,
(A+B)+C = A+(B+C)
Elemento neutro: existe a matriz zero
0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
tal que A+0 = A.
Inverso aditivo: para cada A existe -A (multiplicação por -1 em cada entrada) satisfazendo
A + (-A) = 0

Passo 4

Propriedades envolvendo escalar.
Para quaisquer lambda,muinR e A,Bin M3(R) vale:
lambda,(A+B) = lambda A + lambda B,
(lambda + mu),A = lambda A + mu A,
(lambda,mu),A = lambda,(mu A),
1cdot A = A
Todas decorrem das propriedades usuais de distributividade e associatividade em R, aplicadas entrada a entrada.

Resposta

Sim. M3(R) com soma e multiplicação por escalar usuais satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

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