Identifique qual espaço vetorial V em que W está contido e julgue se W é subespaço vetorial de V.
(b) W=(x, y) in R^2 ; y=|x|;

Passo 1

O enunciado dá
W = (x,y)in R^2 mid y = lvert xrvert
e pede (i) identificar um espaço vetorial V que contenha W e (ii) verificar se W é subespaço de V.
Conteúdo: definição de subespaço vetorial e critérios de fechamento (vetor zero, adição, multiplicação escalar) em R^2.

Passo 2

Como W é formado por pares (x,y) reais, o espaço vetorial natural que contém W é
V = R^2
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar em R^2.

Passo 3

Para ser subespaço, W deve conter o vetor zero de V.
Como para x=0 temos y = lvert 0rvert = 0, o par (0,0) está em W. Logo, Wneq emptyset e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificamos fechamento sob multiplicação escalar com um contraexemplo.
Escolha (1,1)in W e lambda = -1. Então
lambda,(1,1) = (-1,-1)
Para (-1,-1) estar em W precisaríamos ter -1 = lvert -1rvert = 1, o que é falso.
Portanto W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O espaço vetorial é V=R^2 e W não é subespaço vetorial de V.

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