Identifique qual espaço vetorial V em que W está contido e julgue se W é subespaço vetorial de V.
(g) W=(x, y, z) in R^3 ; x=2 y+z;

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)in R^3 mid x = 2y + z
e pede para identificar o espaço vetorial V em que W está contido e verificar se W é subespaço de V. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais: para mostrar que W é subespaço, vamos usar os três critérios clássicos — conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Como W é definido como um conjunto de tripletas reais (x,y,z), o espaço vetorial ambiente natural é
V = R^3
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 3

Recordando a definição, um subconjunto não vazio Wsubseteq V é subespaço de V se, e somente se, para quaisquer u,vin W e qualquer escalar lambdainR, tivermos:
  1. 0in W.
  2. u + vin W.
  3. lambda,uin W.

Passo 4

Verificação de 0in W: o vetor nulo em R^3 é 0=(0,0,0). Substituindo em x=2y+z
0 stackrel?= 2cdot 0 + 0,
que é verdadeiro. Logo 0in W.

Passo 5

Fechamento sob adição: sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W. Então
x1 = 2y1 + z1, x2 = 2y2 + z2
Na soma u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2), o primeiro componente é
x1 + x2 = (2y1 + z1) + (2y2 + z2) = 2(y1 + y2) + (z1 + z2),
portanto u+v satisfaz a mesma equação e fica em W.

Passo 6

Fechamento sob multiplicação escalar: seja lambdainR e u=(x,y,z)in W tal que x = 2y + z. Então
lambda,u = (lambda x,;lambda y,;lambda z),
e o primeiro componente satisfaz
lambda x = lambda(2y + z) = 2(lambda y) + (lambda z),
logo lambda,uin W.

Passo 7

Como W contém o vetor nulo e é fechado tanto em soma quanto em multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

V = R^3.
W é subespaço vetorial de V.

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