Identifique qual espaço vetorial
em que
está contido e julgue se
é subespaço vetorial de
.
(g)
;
(g)
Passo 1
O enunciado define
e pede para identificar o espaço vetorial
em que
está contido e verificar se
é subespaço de
. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais: para mostrar que
é subespaço, vamos usar os três critérios clássicos — conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Como
é definido como um conjunto de tripletas reais
, o espaço vetorial ambiente natural é
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 3
Recordando a definição, um subconjunto não vazio
é subespaço de
se, e somente se, para quaisquer
e qualquer escalar
, tivermos:
-
. -
. -
.
Passo 4
Verificação de
: o vetor nulo em
é
. Substituindo em
dá
que é verdadeiro. Logo
.
Passo 5
Fechamento sob adição: sejam
e
em
. Então
Na soma
, o primeiro componente é
portanto
satisfaz a mesma equação e fica em
.
Passo 6
Fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
tal que
. Então
e o primeiro componente satisfaz
logo
.
Passo 7
Como
contém o vetor nulo e é fechado tanto em soma quanto em multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.