Os pares de retas r1 e r2 são paralelas ou concorrentes. Encontrar uma equação geral do plano que as contém.
r1:ly=2 x-3 z=-x+2
e r2:lx-12=z-1-1 y=-1

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas r1 e r2, que são paralelas ou concorrentes. Para isso, vamos parametrizar cada reta, extrair um ponto e um vetor diretor, verificar se elas se intersectam (concorrentes) e, em seguida, usar o produto vetorial dos vetores diretores para obter o vetor normal do plano.

Passo 2

Parametrizar r1. Seja t tal que
x=t, y=2t-3, z=-t+2
Um ponto em r1 é
P=(0,-3,2)(para t=0),
e o vetor diretor é
vec v1=(1,2,-1)

Passo 3

Parametrizar r2. Seja s tal que
x-12=z-1-1=s, y=-1
Dessa forma,
x=2s+1, z=-s+1
Um ponto em r2 é
Q=(1,-1,1)(para s=0),
e o vetor diretor é
vec v2=(2,0,-1)

Passo 4

Verificar interseção. Note que
PQ=(1-0,,-1-(-3),,1-2)=(1,2,-1),
que coincide com vec v1. Logo Q=P+vec v1, o que mostra que r1 e r2 se encontram em
I=(1,-1,1)

Passo 5

Calcular o vetor normal do plano por
vec n=vec v1timesvec v2 = i & j & k 1 & 2 & -1 2 & 0 & -1 =(-2,-1,-4)
Multiplicando por -1 para simplificar, podemos usar
vec n=(2,1,4)

Passo 6

Montar a equação do plano usando vec n=(2,1,4) e o ponto I=(1,-1,1):
2(x-1)+1(y+1)+4(z-1)=0
Desenvolvendo,
2x-2+y+1+4z-4=0 Longrightarrow 2x+y+4z-5=0

Resposta

2x+y+4z-5=0

Exercícios relacionados