Identifique qual espaço vetorial V em que W está contido e julgue se W é subespaço vetorial de V.
(h) W=(x, y, z) in R^3 ; y <= 0;

Passo 1

O enunciado define W=(x,y,z)inR^3mid y<=0 e pede para identificar o espaço vetorial V que contém W e julgar se W é subespaço de V. O conteúdo é espaços vetoriais e subespaços, usando o teste: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Como W é dado como subconjunto de R^3, o espaço vetorial ambiente é
V = R^3

Passo 3

Verificamos que W não é vazio, pois (0,0,0)in W já que 0<=0.
Além disso, se v=(x1,y1,z1)in W e w=(x2,y2,z2)in W, então y1<=0 e y2<=0. Logo
y1 + y2 <= 0 + 0 = 0,
o que implica v+win W. Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Agora testamos a multiplicação escalar. Tome v=(x,y,z)in W com, por exemplo, y<0 e o escalar lambda=-1. Então
lambda v = (-x,,-y,,-z)
tem segunda coordenada -y>0, o que faz lambda vnotin W. Portanto, W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Resposta

O espaço vetorial é V=R^3. O conjunto W não é subespaço vetorial de V pois falha na propriedade de fechamento sob multiplicação escalar.

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