Identifique qual espaço vetorial V em que W está contido e julgue se W é subespaço vetorial de V.
(i) W=(x, y, z) in R^3 ; x z=0;

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)inR^3 mid xz = 0
e pede para identificar um espaço vetorial V que contenha W e verificar se W é subespaço de V. O conteúdo aqui é teste de subespaço em R^3.

Passo 2

O conjunto W é formado por triplas de números reais, logo o espaço natural que o contém é
V = R^3

Passo 3

Para W ser subespaço de R^3 precisamos checar:
  1. Wneqemptyset.
  2. Fechamento sob soma: se u,vin W então u+vin W.
  3. Fechamento sob produto escalar: se uin W e lambdainR então lambda uin W.

Passo 4

Verificação do fechamento sob soma:
Escolha
u=(1,0,0)in W(pois z=0implies xz=0)
e
v=(0,0,1)in W(pois x=0implies xz=0)
Então
u+v = (1,0,1),
mas nesse vetor x,z = 1cdot1 = 1 neq 0, logo (1,0,1)notin W. Portanto W não é fechado sob soma.

Resposta

O espaço vetorial que contém W é V=R^3 e W não é subespaço vetorial de V.

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