Identifique qual espaço vetorial V em que W está contido e julgue se W é subespaço vetorial de V.
(j) W=A in M2(R) ; A=A^t;

Passo 1

O enunciado define
W = Ain M2(R) mid A = A^t,
isto é, W é o conjunto de todas as matrizes 2times2 reais simétricas. O objetivo é identificar um espaço vetorial V que contenha W e verificar se W é de fato um subespaço de V. Para isso, usaremos a definição de subespaço vetorial: um subconjunto não-vazio deve ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

O espaço vetorial natural que contém todas as matrizes 2times2 reais é
V = M2(R)
Logo, W subseteq V.

Passo 3

Verificamos que o zero de V pertence a W. A matriz nula
0 = 0 & 00 & 0
satisfaz 0 = 0^t, então 0in W. Assim W não é vazio e contém o vetor nulo.

Passo 4

Fechamento sob soma: tomemos A,Bin W. Como A = A^t e B = B^t, temos
(A + B)^t = A^t + B^t = A + B,
logo A+B também é simétrica e pertence a W.

Passo 5

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja alphainR e Ain W. Então
(alpha A)^t = alpha,A^t = alpha A,
portanto alpha Ain W.

Resposta

O espaço vetorial é
V = M2(R),
e W é subespaço vetorial de V.

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