Identifique qual espaço vetorial
em que
está contido e julgue se
é subespaço vetorial de
.
(j)
;
(j)
Passo 1
O enunciado define
isto é,
é o conjunto de todas as matrizes
reais simétricas. O objetivo é identificar um espaço vetorial
que contenha
e verificar se
é de fato um subespaço de
. Para isso, usaremos a definição de subespaço vetorial: um subconjunto não-vazio deve ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
O espaço vetorial natural que contém todas as matrizes
reais é
Logo,
.
Passo 3
Verificamos que o zero de
pertence a
. A matriz nula
satisfaz
, então
. Assim
não é vazio e contém o vetor nulo.
Passo 4
Fechamento sob soma: tomemos
. Como
e
, temos
logo
também é simétrica e pertence a
.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
. Então
portanto
.
Resposta
O espaço vetorial é
e
é subespaço vetorial de
.