Identifique qual espaço vetorial V em que W está contido e julgue se W é subespaço vetorial de V.
(k) W=A in M2(R) ; A=A^2;

Passo 1

O enunciado define
W = ,Ain M2(R) mid A = A^2,
e pede: em que espaço vetorial V está contido W e se W é subespaço vetorial de V.
Conteúdo: teste de subespaço vetorial (verificar presença do zero e fechamento em soma e produto escalar).

Passo 2

O conjunto de todas as matrizes 2times2 reais é o espaço vetorial
V = M2(R),,
de dimensão 4 sobre R. Claramente Wsubset V.

Passo 3

Para W ser subespaço de V precisamos verificar:
1. Oin W (matriz zero).
2. se A,Bin W então A+Bin W.
3. se Ain W e cinR então cAin W.

Passo 4

Verificação do elemento zero: a matriz zero O satisfaz
O^2 = O,,
logo Oin W.

Passo 5

Verificação do produto escalar: seja Ain W, isto é A^2=A. Para um escalar cinR,
(cA)^2 = c^2A^2 = c^2A
Para cA ser idempotente precisa c^2A = cA. Se Aneq O, isso exige c^2=c, ou seja cin0,1. Para outros c não vale, então cAnotin W em geral. Logo falta fechamento em multiplicação escalar.

Resposta

V = M2(R) e W NÃO é subespaço vetorial de V.

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