Identifique qual espaço vetorial
em que
está contido e julgue se
é subespaço vetorial de
.
(k)
;
(k)
Passo 1
O enunciado define
e pede: em que espaço vetorial
está contido
e se
é subespaço vetorial de
.
Conteúdo: teste de subespaço vetorial (verificar presença do zero e fechamento em soma e produto escalar).
Conteúdo: teste de subespaço vetorial (verificar presença do zero e fechamento em soma e produto escalar).
Passo 2
O conjunto de todas as matrizes
reais é o espaço vetorial
de dimensão
sobre
. Claramente
.
Passo 3
Para
ser subespaço de
precisamos verificar:
.
(matriz zero).
. se
então
.
. se
e
então
.
Passo 4
Verificação do elemento zero: a matriz zero
satisfaz
logo
.
Passo 5
Verificação do produto escalar: seja
, isto é
. Para um escalar
,
Para
ser idempotente precisa
. Se
, isso exige
, ou seja
. Para outros
não vale, então
em geral. Logo falta fechamento em multiplicação escalar.
Resposta
V
e
NÃO é subespaço vetorial de
.