Identifique qual espaço vetorial V em que W está contido e julgue se W é subespaço vetorial de V.
(l) W=(ccx & y z & w) in M2(R) ; z=x w.

Passo 1

O enunciado define
W = x & y z & win M2(R) mid z = x,w
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais: para testar se W é subespaço de algum espaço vetorial V, precisamos verificar os critérios (contém zero, fechado sob soma e escalar).

Passo 2

Claro que Wsubset V com
V = M2(R),
o espaço de todas as matrizes 2times2 reais. Agora vamos ver se W satisfaz as condições de subespaço de V.

Passo 3

Verificação do vetor zero: a matriz zero
0 = 0 & 0 0 & 0
tem entradas x=0, w=0 e z=0. Como z=0 = 0cdot0 = x,w, segue que 0in W.

Passo 4

Teste de fechamento em relação à soma: tomemos
A = 1 & 0 0 & 0, B = 0 & 0 0 & 1
Em A temos x1=1, w1=0 e z1=0 = 1cdot0, logo Ain W.
Em B temos x2=0, w2=1 e z2=0 = 0cdot1, logo Bin W.
Mas
A + B = 1 & 0 0 & 1
tem x=1, w=1 e z=0, e 1cdot1 = 1 neq 0.
Logo A+Bnotin W, ou seja, W não é fechado sob soma.

Passo 5

Como já falhou a soma, W não pode ser subespaço. (Se quisesse, confirmaríamos também falha sob multiplicação por escalar, por exemplo tomando
C=1 & 01 & 1in W e 2C=2 & 02 & 2,
onde 2cdot2=4neq 2, logo 2Cnotin W.)

Resposta

V = M2(R) e W não é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados