Identifique qual espaço vetorial em que está contido e julgue se é subespaço vetorial de .
(l) .
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais: para testar se é subespaço de algum espaço vetorial , precisamos verificar os critérios (contém zero, fechado sob soma e escalar).
Passo 2
Claro que com
o espaço de todas as matrizes reais. Agora vamos ver se satisfaz as condições de subespaço de .
Passo 3
Verificação do vetor zero: a matriz zero
tem entradas x=0, w=0 e z=0. Como z=0 = 0cdot0 = x,w, segue que 0in W.
Passo 4
Teste de fechamento em relação à soma: tomemos
A = 1 & 0 0 & 0, B = 0 & 0 0 & 1
Em A temos x1=1, w1=0 e z1=0 = 1cdot0, logo Ain W.
Em B temos x2=0, w2=1 e z2=0 = 0cdot1, logo Bin W.
Mas
A + B = 1 & 0 0 & 1
tem x=1, w=1 e z=0, e 1cdot1 = 1 neq 0.
Logo A+Bnotin W, ou seja, W não é fechado sob soma.
Passo 5
Como já falhou a soma, W não pode ser subespaço. (Se quisesse, confirmaríamos também falha sob multiplicação por escalar, por exemplo tomando