Q 5 Seja S=X=[lx y z] ; x, y, z in R o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo A X=0, em que A in M3(R). Mostre que S é um subespaço vetorial do R^3.

Passo 1

O enunciado define
S = lX = x y zin R^3 mid A,X = 0r
e pede para mostrar que S é um subespaço vetorial de R^3.
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto VsubseteqR^3 é subespaço se e somente se
  1. o vetor zero pertence a V,
  2. V é fechado sob soma de vetores,
  3. V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero 0 = 000 pertence a S.
Como a multiplicação matricial é linear,
A,0 = 0,
logo 0in S.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob soma.
Sejam X,Yin S. Então
A,X = 0 e A,Y = 0
Pela linearidade de A,
A,(X+Y) = A,X + A,Y = 0 + 0 = 0,
logo X+Yin S.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja Xin S e lambdainR. Como A,X = 0, temos
A,(lambda X) = lambda,(A,X) = lambda,0 = 0,
portanto lambda Xin S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de R^3.

Resposta

S é um subespaço vetorial de R^3.

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