Q 5 Seja o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo A X=0, em que A in M3(R). Mostre que S é um subespaço vetorial do R^3.
Passo 1
O enunciado define
S = lX = x y zin R^3 mid A,X = 0r
e pede para mostrar que S é um subespaço vetorial de R^3.
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto VsubseteqR^3 é subespaço se e somente se
o vetor zero pertence a V,
V é fechado sob soma de vetores,
V é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero 0 = 000 pertence a S.
Como a multiplicação matricial é linear,
A,0 = 0,
logo 0in S.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob soma.
Sejam X,Yin S. Então
A,X = 0 e A,Y = 0
Pela linearidade de A,
A,(X+Y) = A,X + A,Y = 0 + 0 = 0,
logo X+Yin S.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja Xin S e lambdainR. Como A,X = 0, temos
A,(lambda X) = lambda,(A,X) = lambda,0 = 0,
portanto lambda Xin S.
Passo 5
Como S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de R^3.