Mostre que f(t)=(sen t) i+(cos t) j+raiz3 k tem comprimento constante e é ortogonal à sua derivada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial f(t) = (sin t)i + (cos t)j + raiz3k. O objetivo é mostrar que o comprimento dessa função vetorial é constante e que ela é ortogonal à sua derivada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, norma de vetores e produto escalar.

Passo 2

Vamos começar calculando o comprimento (ou norma) da função vetorial f(t). A norma de um vetor f(t) é dada por:
|f(t)| = raiz(sin t)^2 + (cos t)^2 + (raiz3)^2
Simplificando os termos dentro da raiz:
|f(t)| = raizsin^2 t + cos^2 t + 3
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então substituindo:
|f(t)| = raiz1 + 3 = raiz4 = 2
Portanto, o comprimento de f(t) é constante e igual a 2.

Passo 3

Agora, vamos verificar se f(t) é ortogonal à sua derivada. Para isso, precisamos calcular a derivada de f(t) em relação a t:
f'(t) = ddt [ sin t i + cos t j + raiz3 k ] = (cos t)i - (sin t)j + 0k
Então, f'(t) = (cos t)i - (sin t)j.
Para verificar a ortogonalidade, calculamos o produto escalar entre f(t) e f'(t):
f(t) cdot f'(t) = (sin t)(cos t) + (cos t)(-sin t) + (raiz3)(0) = sin t cos t - sin t cos t = 0
Como o produto escalar é zero, isso significa que f(t) e f'(t) são ortogonais.

Resposta

A função vetorial f(t) tem comprimento constante igual a 2 e é ortogonal à sua derivada f'(t).

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