Mostre que
tem comprimento constante e é ortogonal à sua derivada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial
. O objetivo é mostrar que o comprimento dessa função vetorial é constante e que ela é ortogonal à sua derivada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, norma de vetores e produto escalar.
Passo 2
Vamos começar calculando o comprimento (ou norma) da função vetorial
. A norma de um vetor
é dada por:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Sabemos que
, então substituindo:
Portanto, o comprimento de
é constante e igual a 2.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é ortogonal à sua derivada. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Então,
.
Para verificar a ortogonalidade, calculamos o produto escalar entre
e
:
Como o produto escalar é zero, isso significa que
e
são ortogonais.
Resposta
A função vetorial
tem comprimento constante igual a 2 e é ortogonal à sua derivada
.